Solusi
Nilai terkecil $latex n$ adalah 41.

Pertama-tama, kita akan membuktikan bahwa $latex n\le40$ tidak mungkin. Anggaplah $latex X=\{1,2,\cdots,56\}$. Misalkan ada 15 subhimpunan sebagai berikut:

$latex A_i=\{i,i+7,i+14,i+21,i+28,i+35,i+42,i+49\}\ (i=1,2,3,4,5,6,7)$

$latex B_j=\{j,j+8,j+16,j+24,j+32,j+40,j+48\}\ (j=1,2,3,4,5,6,7,8)$

Mudah dilihat bahwa

$latex |A_i|=8\ (i=1,2,\cdots,7),|A_i\cap A_j|=0\ (1\le i<j\le7)$

$latex |B_j|=7\ (j=1,2,\cdots,8),|B_i\cap B_j|=0\ (1\le i<j\le8)$

$latex |A_i\cap B_j|=1\ (1\le i\le7,1\le j\le8).$

Untuk setiap 7 subhimpunan, misalnya $latex A_{i_1},A_{i_2},\ldots,A_{i_s},B_{j_1},B_{j_2},\ldots,B_{j_t}\ (s+t=7)$, kita punya

$latex |A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\ldots\cap A_{i_s}\cap B_{j_1}\cap B_{j_2}\cap\ldots\cap B_{j_t}|\\=|A_{i_1}|+|A_{i_2}|+\ldots+|A_{i_s}|+|B_{j_1}|+|B_{j_2}|+\ldots+|B_{j_t}|-st\\=8s+7t-st\\=8s+7(7-s)-s(7-s)\\=s^2-6s+49\\=(s-3)^2+40\ge40$

Pada kasus ini, gabungan dari setiap 7 subhimpunan dari 15 subhimpunan itu memiliki setidaknya 40 elemen (dengan kata lain $latex n=40$). Tetapi, untuk setiap 3 subhimpunan dari 15 subhimpunan tadi, pasti setidaknya dua di antaranya adalah $latex A_i$ atau setidaknya dua di antaranya adalah $latex B_j$. Ini menyebabkan irisan ketiganya kosong. Jadi $latex n\le40$ tidak memenuhi.

Sekarang, kita akan membuktikan bahwa $latex n=41$ memenuhi ketentuan. Kita akan melakukan pembuktikan dengan kontradiksi. Jadi, asumsikan ada 15 subhimpunan, gabungan dari setiap 7 di antaranya memiliki setidaknya 41 elemen, tetapi tidak ada 3 subhimpunan yang irisannya tidak kosong. Jadi tidak ada elemen yang berada di 3 subhimpunan. Kita bisa anggap setiap elemen berada di tepat 2 subhimpunan. Jika tidak, kita bisa menambah beberapa elemen ke beberapa subhimpunan dari 15 subhimpunan ini, dan ketentuan tetap berlaku.

Menurut Prinsip Rumah Burung, ada satu himpunan dari 15 subhimpunan ini (sebutlah ini $latex A$) sehingga $latex |A|\ge\lceil\frac{2\times56}{15}\rceil=8$. Misalkan 14 himpunan lainnya adalah $latex A_1,A_2,\cdots,A_{14}$.

Gabungan dari setiap 7 himpunan dari $latex A_1,A_2,\cdots,A_{14}$ memiliki setidaknya 41 elemen. Jadi totalnya $latex y\ge41_{14}C_7$.

Kita gunakan cara lain untuk menghitung nilai $latex y$. Untuk setiap $latex a\in X$, jika $latex a$ bukan elemen dari $latex A$ (ada $latex 56-|A|$ nilai $latex a$), maka $latex a$ adalah anggota dari tepat dua himpunan dari $latex A_1,A_2,\cdots,A_{14}$. Jadi $latex a$ dihitung $latex _{14}C_7-_{12}C_7$ kali. Jika $latex a$ merupakan elemen dari $latex A$ (ada $latex |A|$ nilai $latex a$), maka $latex a$ adalah anggota dari satu himpunan dari $latex A_1,A_2,\cdots,A_{14}$. Jadi $latex a$ dihitung $latex _{14}C_7-_{13}C_7$ kali. Jadi

$latex 41_{14}C_7\le y=(56-|A|)(_{14}C_7-_{12}C_7)+|A|(_{14}C_7-_{13}C_7)\\=56(_{14}C_7-_{12}C_7)-|A|(_{13}C_7-_{12}C_{7})\\ \le56(_{14}C_7-_{12}C_7)-8(_{13}C_7-_{12}C_{7}).$

Dapat dilihat dengan mudah bahwa $latex 41_{14}C_7\le56(_{14}C_7-_{12}C_7)-8(_{13}C_7-_{12}C_{7})$ itu tidak mungkin. Maka kita dapat kontradiksi.

Jawabannya adalah 41.

Solusi
Misalkan terdapat kamar $latex A$ dan $latex B$, dengan jumlah siswa pada $latex A$ lebih banyak dari jumlah siswa pada $latex B$. Dengan prinsip rumah burung, terdapat dua siswa pada kamar $latex A$ yang mengenal satu siswa yang sama pada kamar $latex B$. Tetapi ini tidak mungkin karena siswa pada kamar $latex B$ itu hanya bisa mengenal satu siswa di kamar $latex A$. Maka tidak mungkin ada kamar yang jumlah siswanya lebih banyak dari kamar lain.

Solusi
Karena terdapat 1000 angka dari $latex 000$ sampai $latex 999$, maka di antara $latex 29^1$, $latex 29^2$, $latex 29^3$, $latex \ldots$, $latex 29^{1001}$ terdapat dua bilangan yang tiga angka terakhirnya berbeda (dari prinsip rumah burung). Maka misalkan $latex 29^k$ dan $latex 29^l$ berakhiran dengan tiga angka yang sama, di mana $latex k>l$.

Maka $latex 29^k-29^l$ habis dibagi 1000. Tetapi $latex 29^k-29^l=29^l(29^{k-l}-1)$ harus habis dibagi 1000, sedangkan $latex 29^l$ tidak mungkin habis dibagi 1000, karena 29 dan 1000 relatif prima. Maka $latex 29^{k-l}-1$ habis dibagi 1000, dan berakhiran dengan $latex 000$. Maka $latex 29^{k-l}$ berakhiran dengan $latex 001$. Terbukti.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex 2/7>\sqrt2/5$. Tetapi $latex 2/7$ adalah diameter dari suatu lingkaran berjari-jari $latex 1/7$, sedangkan $latex \sqrt2/5$ adalah diagonal dari suatu persegi bersisi $latex 1/5$. Maka lingkaran itu dapat dibuat berada di luar persegi $latex 1/5\times1/5$.

Bagilah persegi $latex 1\times1$ tersebut menjadi 25 persegi yang identik, yaitu dengan memotong 5 bagian secara horizontal dan 5 bagian secara vertikal. Maka ukuran persegi-persegi kecil itu adalah $latex 1/5\times1/5$. Karena terdapat 51 titik, dengan prinsip rumah burung, terdapat setidaknya tiga titik yang berada di salah satu persegi. Tetapi kita dapat membuat lingkaran berjari-jari $latex 1/7$ di luar persegi itu. Jadi, di dalam lingkaran yang dibuat di luar persegi itu terdapat tiga titik.

Solusi
Bagilah persegi itu menjadi empat persegi kecil lagi, dengan sisi masing-masing $latex 1/2$. Dengan prinsip Dirichlet, atau rumah burung, kita mengetahui bahwa terdapat satu persegi kecil yang memiliki 3 titik di dalamnya. Luas segitiga itu maksimum jika titik-titiknya berada di titik-titik sudut persegi, sehingga luasnya $latex \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$. Maka, luasnya $latex \le\frac{1}{8}$.

Solusi
Misalkan $latex a_1$ adalah banyak permainannya pada hari pertama, $latex a_2$ adalah banyak permainan pada hari pertama dan kedua, dan seterusnya. $latex a_n$ adalah banyak permainan dari hari pertama sampai hari ke-$latex n$. Maka, barisan $latex a_1$, $latex a_2$, $latex a_3$, $latex \ldots$, $latex a_{77}$ terdiri dari bilangan-bilangan berbeda yang nilainya meningkat. Berdasarkan syarat bahwa setiap minggu tidak lebih dari 12 permainan, maka dalam 11 minggu tidak lebih dari $latex 11\cdot12=132$. Maka

$latex 1\le a_1<a_2<a_3<\ldots<a_{77}\le132$,

dan

$latex 22\le a_1+21<a_2+21<a_3+21<\ldots<a_{77}+21\le153$.

Maka, $latex a_1$, $latex a_2$, $latex a_3$, $latex \ldots$, $latex a_{77}$, $latex a_1+21$, $latex a_2+21$, $latex a_3+21$, $latex \ldots$, $latex a_{77}+21$ adalah 154 bilangan asli dari 1 sampai 153. Berdasarkan prinsip rumah burung, terdapat dua bilangan yang sama. Tetapi 77 bilangan pertama tidak ada yang sama, begitu pula 77 bilangan terakhir. Jadi, satu bilangan adalah dari 77 bilangan pertama, bilangan lainnya dari 77 bilangan terakhir. Misalkan kedua bilangan itu adalah

$latex a_i=a_j+21$,

untuk suatu $latex j<i$, maka

$latex 21=a_i-a_j$.

Jadi terdapat hari dari hari ke-$latex j+1$ sampai hari ke-$latex i$ yang terjadi tepat 21 permainan.