Solusi
Kita klaim bahwa satu garis melewati bagian dalam dari paling banyak $latex m+n-1$ persegi pada papan kotak-kotak $latex m\times n$. Perhatikan bahwa ada $latex m-1$ garis horizontal di dalam papan dan $latex n-1$ garis vertikal di dalam papan, totalnya ada $latex m+n-2$ garis. Setiap kali suatu garis melewati satu kotak ke kotak lain (berpindah), garis itu pasti memotong satu dari $latex m+n-2$ garis tadi. Jadi, satu garis paling banyak hanya "berpindah" sebanyak $latex m+n-2$ kali. Maka garis itu paling banyak melewati bagian dalam dari $latex m+n-1$ persegi. Klaim kita terbukti.

Sekarang, untuk bagian (a), satu garis hanya bisa melewati 5 kotak. Jadi perlu minimum 2 garis. Ini bisa dilakukan seperti ditunjukkan gambar. Untuk bagian (b), satu garis bisa melewati 7 kotak, sehingga kita perlu 3 garis. Ini juga dapat dilakukan, seperti gambar.

Solusi
Perpanjang $latex KB$ ke $latex L$ sehingga $latex BL=DM$. Perhatikan bahwa $latex ABL\cong ADM$. Jadi

$latex KAL=\angle BAL+\angle KAB\\=\angle MAD+\angle KAB\\=\angle MAK+\angle KAB\\=\angle MAB\\=\angle AMD\\=\angle ALK$

Maka $latex AK=KL$. Jadi $latex AK=KL=BK+BL=BK+DM$. Terbukti.

Bingkai Foto - Photo Frame

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Peralatan acrylic dengan sentuhan modern, dan gaya yang atraktif. Bergaya sesuai di segala ruangan.

Kode: DK 6003

Ukuran (mm):
♦ 160 x 20 x 110; 190 x 25 x 140

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 255.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

********************************************************

Keunggulan Produk:

Bening seperti kristal

Bahan acrylic pada bingkai foto ini memiliki kebeningan seperti kristal atau kaca, yang membuatnya terlihat istimewa.

Efek 'Glow'

Dua lapisan acrylic menimbulkan efek 'soft-glow' pada bingkai yang membuatnya seolah-olah memancarkan cahaya dari bingkainya

Perekat magnet

Dengan dua lapis acrylic yang ditempelkan perekat magnet sehingga pemakai tidak perlu bersusah payah mencari peralatan seperti obeng untuk meletakkan atau mengganti fotonya.

Bingkai berdiri

Produk kami ini cocok sekali diletakkan di meja atau lemari tanpa harus menggunakan penyangga pada bingkai tersebut. Kami telah menyiapkan potongan bingkai ini sedemikian rupa, sehingga pemakainya bisa langsung meletakkan fotonya begitu saja tanpa harus menyiapkan penyangga.

Horizontal atau vertikal

Dengan keunggulan bingkai berdiri ini, pemakai dapat dengan mudah memilih orientasi letak foto yang akan dipajang, posisi horizontal atau vertikal.

Keamanan

Dengan menggunakan teknologi bahan acrylic membuat bingkai ini menjadi lebih aman dari kerusakan atau pecah, karena bahan ini termasuk tahan terhadap benturan, Berbeda dengan bahan yang berasal dari kaca atau kristal yang mudah pecah atau tergores.

Tempat Tisu - Tissue Holder

Spesifikasi

Deskripsi Produk

Elegan kristal dalam bentuk perangkat acrylic. Produk yang sangat fungsional digunakan sebagai tempat tisu.

Kode: DK 7013

Ukuran (mm):
♦ 250 x 156 x 95

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 383.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Tatakan Sabun - Soap Dish

Spesifikasi

Deskripsi Produk

Perlengkapan mandi yang sangat bagus sekali yang pantas memenuhi selera modern Anda. Produk yang sangat diperlukan untuk tempat kamar mandi Anda.

Kode: DK 7004

Ukuran (mm):
♦ 128 x 90 x 20

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 26.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Kotak Perhiasan dengan 2 Laci - 2-Drawer Jewelry Chest

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Elegan kristal dalam bentuk perangkat acrylic. Mudah digunakan untuk menyusun perhiasan dan asesoris milik Anda.

Kode: DK 3018

Ukuran (mm):
♦ 152 x 119 x 95

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 240.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Kotak Asesoris Kosmetik - Cosmetics Accessory Box

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Elegan kristal dalam bentuk perangkat acrylic. Mudah digunakan untuk menyusun perhiasan dan asesoris milik Anda.

Kode: DK 3006

Ukuran (mm):
♦ 172 x 105 x 56

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 75.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Kotak Asesoris Kosmetik - Cosmetics Accessory Box

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Elegan kristal dalam bentuk perangkat acrylic. Mudah digunakan untuk menyusun perhiasan dan asesoris milik Anda.

Kode: DK 3005

Ukuran (mm):
♦ 102 x 102 x 78

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 69.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Kotak Asesoris - Accessory Box

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Elegan kristal dalam bentuk perangkat acrylic. Mudah digunakan untuk menyusun perhiasan dan asesoris milik Anda.

Kode: DK 3002N

Ukuran (mm):
♦ 187 x 150 x 69

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 69.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Genggam Persegi (Sedang) - Square Hand Mirror (Medium)

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Tebal cerminnya: 2mm. Cermin Portabel untuk make-up

Kode: DK 1117

Ukuran (mm):
♦ 115 x 6 x 230

Warna:
♦ Bening         

Harga Satuan:
♦ Rp 30.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Berdiri (Berlogo) - Stand Mirror (Printed)

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Kualitas terbaik dari peralatan acrylic dengan tampilan seperti kristal. Sangat bagus digunakan bercermin saat make-up.

Kode: DK 1112-1

Ukuran (mm):
♦ 210 x 107 x 250

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 165.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Diri Berdudukan - Stand Mirror Bottom

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Kualitas terbaik dari peralatan acrylic dengan tampilan seperti kristal. Sangat bagus digunakan bercermin saat make-up.

Kode: DK 1111

Ukuran (mm):
♦ 164 x 111 x 210

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 205.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Genggam Persegi (Kecil) - Square Hand Mirror (Small)

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Kualitas terbaik dari peralatan acrylic dengan tampilan seperti kristal. Cermin Portabel untuk make-up.

Kode: DK 1109

Ukuran (mm):
♦ 63 x 96 x 6

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 12.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Berdiri - Stand Mirror

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Kualitas terbaik dari peralatan acrylic dengan tampilan seperti kristal. Sangat bagus digunakan bercermin saat make-up

Kode: DK 1107

Ukuran (mm):
♦ 211 x 170 x 235

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 255.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Genggam - Hand Mirror

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Cermin Portabel untuk make-up

Kode: DK 1103

Ukuran (mm):
♦ 80 x 18 x 195

Warna:
♦ Bening, Biru, Hijau

Harga Satuan:
♦ Rp 26.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Persegi Besar - Large Rectangular Mirror

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Pembesaran hingga 2X. Dibalik menjadi cermin normal. Sangat bagus digunakan untuk bercermin saat make-up.

Kode: DK 1102

Ukuran (mm):
♦ 170 x 60 x 210

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 90.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Cermin Persegi - Rectangular Mirror.

Spesifikasi

Deskripsi Produk:

Pembesaran hingga 2X. Dibalik menjadi cermin normal. Sangat bagus digunakan untuk bercermin saat make-up.

Kode: DK 1101

Ukuran (mm):
♦ 123 x 35 x 140

Warna:
♦ Bening

Harga Satuan:
♦ Rp 46.000

(Untuk pemesanan atau rancang sendiri/customized silahkan lihat keterangan disini)

Solusi
Mudah dilihat bahwa setiap persegi dapat dibagi menjadi empat persegi kecil. Jadi, jika kita sudah membagi menjadi n persegi, kita bisa membagi menjadi n+3 persegi dengan cara membagi satu persegi menjadi empat (empat persegi kecil bertambah, yang besar hilang). Karena kita bisa membagi menjadi 4, kita juga bisa membagi menjadi 7,10,13,16,dan seterusnya.

Kita juga bisa membagi menjadi 6 dan 8 dengan cara seperti di gambar. Jadi kita bisa membagi menjadi 9,12,15,..., dan 11,14,17,... Maka terbukti.

Solusi
Jumlah kedua diagonal tidak mungkin lebih dari diagonal persegi besar, sehingga $latex a\sqrt2+b\sqrt2\le\sqrt2$. Bagi dengan $latex \sqrt2$ sehingga terbukti.

Solusi
Misalkan $latex AB$ berada pada garis $latex y=2x-17$, dan koordinat dua titik lainnya adalah $latex C(x_1,y_1)$ dan $latex D(x_2,y_2)$. Karena $latex AB\parallel CD$, maka $latex CD$ berada pada garis $latex L$ dengan persamaan $latex y=2x+b$. Tetapi $latex C$ dan $latex D$ berada pada $latex y=x^2$, sehingga, dengan menggabungkan kedua persamaan, didapat $latex x^2=2x+b$. Jadi $latex x_{1,2}=1\pm\sqrt{b+1}$. Misalkan sisi persegi itu adalah $latex a$. Jadi

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+(2x_1-b-2x_2+b)^2$

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+(2(x_1-x_2))^2$

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+4(x_1-x_2)^2$

$latex a^2=5(x_1-x_2)^2$

$latex a^2=5(1+\sqrt{b+1}-1+\sqrt{b+1})^2$

$latex a^2=5(2\sqrt{b+1})^2$

$latex a^2=20(b+1)$.

Tanpa mengurangi keumuman, dapat diambil titik sembarang $latex (6,-5)$ pada garis $latex y=2x-17$, dan jaraknya ke garis $latex y=2x+b$ adalah $latex a$. Maka

$latex a=\dfrac{|17+b|}{\sqrt5}$.

Substitusikan nilai ini ke persamaan di atas, sehingga

$latex \displaystyle\left(\frac{|17+b|}{\sqrt5}\right)^2=20(b+1)$

$latex \dfrac{289+34b+b^2}{5}=20b+20$

$latex 289+34b+b^2=100b+100$

$latex b^2-66b+189=0$

$latex (b-3)(b-63)=0$.

Maka didapat $latex b_1=3$, $latex b_2=63$. Jadi $latex a^2=80$ atau $latex a^2=1280$. Jadi $latex a^2_{min}=80$.

Solusi
Misalkan terdapat persegi panjang yang dibentuk dengan lima tetromino itu. Maka terdapat 20 kotak-kotak. Anggaplah persegi panjang itu diwarnai hitam-putih seperti papan catur, sehingga terdapat 10 kotak putih dan 10 kotak hitam. Tetromino pertama (terkiri) akan menempati 2 kotak hitam dan 2 kotak putih. Begitu pula tetromino ketiga, keempat, dan kelima. Tetapi tetromino kedua hanya bisa menempati 1 kotak putih atau 3 kotak putih. Ini menyebabkan jumlah kotak putih dan kotak hitam bukan 10. Maak tidak mungkin membentuk persegi panjang dengan lima tetromino itu.

Solusi
Saya akan buktikan dengan induksi bahwa kotak yang dibuang itu dapat selalu di ujung. Untuk $latex n=1$, satu triomino sudah cukup.

Asumsikan untuk $latex n=k$, persegi $latex k\times k$ dapat ditutup kecuali di ujungnya., seperti berikut:

Empat persegi $latex k\times k$, tanpa ujungnya, dapat disusun ditambah satu triomino lagi, sehingga menjadi seperti berikut:

Maka untuk $latex n=k+1$ juga terbukti, sehingga langkah induksi selesai.

Solusi
Asumsikan $latex FPB(m,n)=1$. Maka garis diagonal itu tidak memotong titik sudut persegi kecuali di awal dan akhir. Jadi garis itu pasti melalui $latex m-1$ garis vertikal dan $latex n-1$ garis horizontal, totalnya $latex m+n-2$ garis. Maka garis melalui $latex m+n-1$ persegi.

Jika $latex FPB(m,n)=d$, misalkan $latex m=m'd$ dan $latex n=n'd$. Maka persegi panjang itu dapat dibagi menjadi $latex d$ bagian yang sama. Pada setiap bagian, garis melalui $latex m'+n'-1$ persegi. Maka totalnya $latex d(m'+n'-1)=m'd+n'd-d=m+n-FPB(m,n)$.

Maka, secara umum, garis akan melalui $latex m+n-FPB(m,n)$ persegi.