$latex f (x^{3}+y^{3}) = x^{2}f (x)+yf (y^{2})$

untuk setiap $latex x,y\in\mathbb{R}$.

Solusi
$latex x=0,y=0$ memberikan $latex f(0)=0$.

$latex y=0$ memberikan $latex f(x^3)=x^2f(x)$ sedangkan $latex x=0$ memberikan $latex f(y^3)=yf(y)^2$.

Jadi $latex f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$ atau $latex f(z+w)=f(z)+f(w)$.

Karena $latex x^2f(x)=xf(x^2)$, maka $latex f(x^2)=xf(x)$ untuk $latex x\ne0$.

Untuk $latex x=\ne-1$, $latex f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+f(1))=xf(x)+xf(1)+f(x)+f(1)$.

Tetapi $latex f((x+1)^2)=f(x^2+x+x+1)=f(x^2)+f(x)+f(x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1)$.

Kedua persamaan terakhir menyebabkan $latex f(x)=xf(1)$ untuk $latex x\ne0,-1$. Perhatikan bahwa $latex f(0)=0$ dan $latex f(-1)=-f(1)$. Jadi $latex f(x)=xf(1)$ untuk setiap bilangan real $latex x$. Jadi $latex f(x)=ax$ untuk suatu konstanta $latex a$.

$latex AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=8r^2$.

Solusi
Misalkan $latex E\in AC\cap BD$, dan $latex AE=a,BE=b,CE=c,DE=d$. Dengan teorema Pythagoras, maka $latex AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(a^2+b^2+c^2+d^2)$. Jadi kita akan buktikan $latex a^2+b^2+c^2+d^2=4r^2$.

Pada segitiga $latex ABC$, $latex R=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4L}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{b^2+c^2}\cdot AC}{2AC\cdot b}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{b^2+c^2}}{2b}$. Jadi $latex 4R^2=\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}{b^2}$. Sekarang kita akan buktikan $latex \frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}{b^2}=a^2+b^2+c^2+d^2$. Persamaan terakhir ini ekuivalen dengan $latex a^2c^2=b^2d^2$, atau $latex ac=bd$, yang terbukti dengan teorema dua busur berpotongan.

Solusi
Misalkan $latex y=x^2+18x+30$, sehingga $latex y=2\sqrt{y+15}$. Kuadratkan menjadi $latex y^2=4y+60$ atau $latex y^2-4y-60=0$, yang menyebabkan $latex (y+6)(y-10)=0$. Jika $latex y=-6$, maka $latex x^2+18x+36=-6$, yang tidak memiliki akar real. Jika $latex y=10$, maka $latex x^2+18x+20=0$, yang memiliki hasil kali akar-akar $latex 10$.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex ^w\log x=\frac1{24},^w\log y=\frac1{40},^w\log xyz=\frac{1}{12}$. Persamaan yang terakhir menyebabkan $latex ^w\log x+^w\log y+^w\log z=\frac{1}{12}$. Maka $latex ^w\log z=\frac1{60}$ dan $latex ^z\log w=60$.

Solusi
Kita punya $latex x+yz=2,y+zx=2,z+xy=2$. Kurangkan persamaan pertama dari kedua: $latex (x-y)(1-z)=0$, kurangkan persamaan kedua dari ketiga: $latex (y-z)(1-x)=0$. Ada empat kasus: (i) $latex x=y,y=z$, (ii) $latex x=y,1=x$, (iii) $latex 1=x,y=z$, $latex 1=z,1=x$. Keempat kasus ini menyebabkan $latex x=y=z=1$ atau $latex x=y=z=-2$.

Solusi
Anggaplah ada $latex a,b,c$ seperti itu. Maka $latex a^2+b^2\equiv6\pmod{8}$. Tetapi modulo 8 bilangan kuadrat yang mungkin hanya 0,1,4, sehingga tidak mungkin jumlah dua bilangan kuadrat modulo 8 adalah 6. Kontradiksi, terbukti.

• Menjelang SNMPTN, bagi kamu yang mau ikut SNMPTN dalam artikel ini tersedia banyak masalah mengenai persamaan dan fungsi
• Masalah Josephus, apa solusinya?
• OSN Matematika SMP 2007, yeah! bagi yang suka memecahkan masalah
• Argumentasi yang Keliru, cek: 1 sen = 0,01 dolar = (0,1 dolar)^2 = (10 sen)^2 = 100 sen = 1 dolar, hmmm
• dan masih banyak lagi masalah di kolom Masalah dan Solusi

Dapatkan majalah ini secara gratis dengan mengikuti link yang tertera di atas. Gratis lho, jadi kenapa gak?

Selamat menikmati

Solusi
Perhatikan bahwa $latex 0=1+a+a^2+a^3=(1+a+a^2+a^3)(1-a)=1-a^4$. Maka $latex a^4=1$. Dengan cara yang sama didapat $latex b^4=1,c^4=1$. Maka $latex a^{2007}+b^{2003}+c^{1999}=a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$. Dengan rumus Vieta, didapat $latex a+b+c-1,ab+bc+ca=1,abc=-1$. Maka $latex a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=-1$. Maka jawabannya $latex (-1)(-1-1)+3(-1)=-1$.

Solusi
$latex \sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}}}} - \sqrt {x} = 1$

$latex \sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}}}} = 1 +\sqrt{x}$

$latex \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}}} = 1 +2\sqrt{x}$

$latex \sqrt {16x + \sqrt {\cdots + \sqrt {4^{2008}x + 3}}} = 1+4\sqrt{x}$

Dan seterusnya, sampai

$latex \sqrt{4^{2008}x+3}=1+2^{2008}\sqrt{x}$. Kuadratkan sehingga $latex 4^{2008}x+3=1+2^{2009}\sqrt{x}+4^{2008}x$, sehingga $latex x=\dfrac{1}{2^{4016}}$.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex f(1\cdot2)=f(1)f(2)$ menyebabkan $latex f(1)=1$. Tetapi $latex f(2n)=f(2)f(n)=2f(n)$, sehingga $latex f(2^k)=2^k$ untuk setiap bilangan asli $latex k$. Perhatikan bahwa $latex 2^k=f(2^k)<f(2^k+1)<f(2^k+2)<\ldots<f(2^{k+1}-1)<f(2^{k+1})=2^{k+1}$. Maka kita punya barisan naik $latex f(2^k),f(2^k+1),f(2^k+2),\ldots,f(2^{k+1})$ yang nilainya adalah bilangan-bilangan dari $latex 2^k$ sampai $latex 2^{k+1}$. Maka $latex f(n)=n$ untuk $latex 2^k\le n\le 2^{k+1}$. Tetapi ini benar untuk $latex k$ bilangan asli sehingga benar juga untuk $latex n\ge2$. Jadi $latex f(x)=x$.

$latex (a^4+6a^3+11a^2+6a)\times (b^3+3b^2+2b)\times (c^4+6c^3+11c^2+6c)=d$

Buktikan bahwa $latex d$ habis dibagi $latex P$, dimana $latex P=1+\frac{147}{144}+\frac{12005}{11520}+\dots$

Solusi
Perhatikan

$latex P=1+\frac{49}{48}+(\frac{49}{48})^2+\dots=48$

Lalu lihat $latex d$

$latex a^4+6a^3+11a^2+6a=(a^2+3a)^2+2(a^2+3a)=(a^2+3a)(a^2+3a+2)=a(a+1)(a+2)(a+3)$

Perhatikan bahwa bentuk di atas adalah hasil kali 4 bilangan berurutan sehingga

$latex 4|a^4+6a^3+11a^2+6a$ dan $latex 4|c^4+6c^3+11c^2+6c$

Lalu $latex b^3+3b^2+2b=b(b^2+3b+2)=b(b+1)(b+2)$

Perhatikan bahwa bentuk di atas adalah hasil kali 3 bilangan berurutan, sehingga

$latex 3|b^3+3b^2+2b$

Dengan demikian $latex P|4\times 3 \times 4=48$

Terbukti bahwa $latex P|d$

Solusi
Misalkan $latex 2^{111x}=r$. Jika akar-akarnya adalah $latex x_1,x_2,x_3$, maka $latex r_1\cdot r_2\cdot r_3=2^{111(x_1+x_2+x_3)}$. Persamaan pada soal menjadi $latex \dfrac{r^3}{4}+4r=2r^2+1$, atau $latex r^3-8r^2+16r+4=0$. Dengan teorema Vieta, didapat $latex r_1\cdot r_2\cdot r_3=4$, sehingga $latex 4=2^{111(x_1+x_2+x_3)}$. Maka $latex x_1+x_2+x_3=\dfrac{2}{111}$, sehingga didapat $latex m+n=113$.

Solusi
Substitusi $latex x=10,y=5$, sehingga $latex f(10)+f(25)+250=f(25)+200+1$, sehingga $latex f(10)=-49$.

Solusi
$latex (x+1)(2x+1)(3x-1)(6x-1)=0$, sehingga $latex x=-1,-\frac12,\frac13,\frac16$.

Solusi
Turunan pertamanya $latex 3x^2+p=0$ memiliki dua akar real. Maka $latex p=-3x^2<0$. Terbukti.

Solusi
Kurangkan kedua persamaan, sehingga $latex \sin y-2008\cos y=1$. Tetapi $latex 1\ge\sin y=1+2008\cos y\ge1$. Maka kesamaan terjadi, yaitu $latex \sin y=1$, menyebabkan $latex y=\pi/2$ dan $latex x=2007$. Maka $latex x+y=2007+\dfrac{\pi}{2}$.

Solusi
Asumsikan ketiganya tidak memiliki akar real. Maka diskriminan ketiga persamaan kurang dari $latex {0}$, yaitu

$latex (a-b)^2-4(b-c)<0$, $latex (b-c)^2-4(c-a)<0$, $latex (c-a)^2-4(a-b)<0$.

Jumlah ketiganya adalah

$latex (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2<0$.

Ini tidak mungkin. Maka kontradiksi, dan terbukti.

Solusi
Akar-akarnya adalah $latex -m\pm\sqrt{m^2-2n}$. Karena $latex m,n$ ganjil, maka $latex m^2-2n\equiv3\pmod4$, dan bukan bilangan kuadrat. Maka terbukti bahwa akar-akarnya irasional.

Solusi
Ruas kiri adalah $latex x^2+20x+351=(x+10)^2+251\ge251$, sedangkan ruas kanan $latex \displaystyle\frac{2008}{{y}^{2}+30y+233}=\frac{2008}{(y+15)^2+8}\le\frac{2008}8=251$. Maka, kesamaan harus terjadi, yaitu $latex \displaystyle{x}^{2}+20x+351=\frac{2008}{{y}^{2}+30y+233}=251$. Jadi $latex x=-10$ dan $latex y=-15$.

REFORMASI yang membuka keran persamaan hak dan kewajiban bagi seluruh Warga Negara Indonesia (WNI), dinilai Hengky Hamdani, salah seorang warga Mamuju keturunan etnis Tionghoa, membuka lebar partisipasi membangun bangsa.

Apalagi Undang-undang Nomor 12 tahun 2006 tentang kewarganegaraan telah menempatkan etnis Tionghoa sama dan setara kedudukannya dengan WNI lainnya dalam hukum dan pemerintahan. Beberapa etnis Tionghoa di Mamuju, bahkan telah berkecimpung di ranah perpolitikan. Salah satu di antaranya adalah Willianto Tanta yang menjadi bendahara DPD I Partai Golkar Sulbar atau pemilik PT Karya Mandala Putra, Imming Wijaya, yang pernah duduk di kursi legislatif DPRD Mamuju selama dua periode.

"Dulu memang kami cuma bekerja di bidang perekonomian saja. Untuk jadi PNS, susah. Tetapi sejak reformasi, etnis Tionghoa juga sudah bisa jadi polisi, tentara, atau menteri. Di Makassar, sudah ada etnis Tionghoa yang ikut mencalonkan diri jadi walikota. Sekarang, perayaan Imlek juga sudah tanggal merah (hari libur nasional,red)," tuturnya.

Menurut Hengky, pada dasarnya warga keturunan Tionghoa sama dengan masyarakat lainnya yang memiliki nasionalisme yang tinggi dan mampu menjadi warga negara yang baik. Hanya saja diakuinya, pelibatan etnis Tionghoa dalam berbagai bidang, jarang dilakukan pada masa sebelum reformasi.

Meskipun demikian, ujar bapak dari tiga orang putra itu, asimilasi atau pembauran etnis Tionghoa dengan dengan warga atau etnis lain yang ada di Mamuju telah terbangun sejak berpuluh-puluh tahun yang lalu. Hampir seluruh warga Mamuju yang terbilang telah lama menetap, dikenalnya dengan baik. Pengkotak-kotakan pribumi dan non pribumi juga tidak pernah ada.

Hengky meyakini, setiap suku pasti memiliki perbedaan sifat dan karakter. Filosofi yang dipegangnya ini membuat dia kadang lebih akrab dalam hubungan kekerabatan dengan etnis lainnya. "Tidak mesti bahwa kita hanya bergaul akrab dengan sesama Tionghoa saja. Saya bahkan lebih akrab dengan saudara dari suku lainnya," kata pria kelahiran tahun 1945 itu.

Jumlah penduduk Kabupaten Mamuju beberapa tahun yang lalu, ungkapnya, masih belum terlalu banyak. Hal ini juga yang membuat mereka lebih cepat akrab dan berbaur dengan warga lainnya. Apalagi penduduk di kota yang telah menjadi ibukota provinsi ini merupakan multietnis sejak berpuluh-puluh tahun yang lalu.

Kepedulian terhadap sesama yang tergolong kurang mampu atau tertimpa musibah, diwujudkan dengan melakukan kegiatan sosial. Dananya diperoleh dari sumbangan semua warga etnis Tionghoa di Mamuju sebagai saldo kas yang dikumpulkan setiap bulan.

Open house dengan mengundang kerabat, tetangga, atau teman, kata dia, juga telah dilakukan sejak dahulu untuk lebih menjalin keakraban. Memang diakuinya, kegiatan seperti ini jarang terlihat karena komunitas etnis Tionghoa di Mamuju tidak sebesar di kota-kota lain, seperti Makassar.

Kenali Bahasa dan Budaya Lokal

KEHADIRAN etnis Tionghoa di Mamuju diperkirakan telah ada sejak tahun 1920-an. Orang tua Hengky Hamdani, merupakan generasi pertama di kota itu. Lazimnya di kota-kota lain, mereka masuk melalui jalur perdagangan.

Didukung kota yang terbilang tidak luas, memudahkan proses asimilasi atau pembauran dengan warga lainnya. Salah satu upaya mempercepat hubungan kekerabatan dengan warga lain dengan mempelajari dan menguasai Bahasa Mamuju, karakter, dan budaya lokal, sehingga komunikasi terjalin baik dengan semua kalangan.

Kawasan pecinan dengan model rumah yang khas pernah ada di sekitar Jalan Yos Sudarso, tepat di depan Pantai Mamuju. Namun, lambat laun mereka semakin menyebar dan membaur dengan warga lainnya. Etnis Tionghoa yang umumnya berdagang, berada di sekitar tempat-tempat strategis yang ramai dikunjugi orang, misalnya pasar.

Tempat ini pulalah yang mempertemukan mereka dengan saudara lainnya dari etnis berbeda, sehingga terjadi asimilasi yang didasarkan prinsip saling membutuhkan. Pedagang membutuhkan konsumen, dan sebaliknya. Tentunya bukan hanya etnis Tionghoa yang memilih dagang sebagai mata pencarian, sehingga hubungan simbiosis semakin kompleks.

Hengky yang lahir, besar, dan beranak cucu di Mamuju, mengenang, sekitar tahun 1970-an, akses jalan darat belum terbuka. Hubungan dengan Makassar dilakukan dengan transportasi laut. Akses jalan darat baru terbuka dengan baik sekitar dekade 90-an.

Berasimilasi dengan Saling Menghormati

PEMBAURAN etnis Tionghoa dengan warga Mamuju dari etnis lainnya terus berlanjut hingga generasi berikutnya. Asimilasi dilakukan sampai pada bidang pendidikan. Tidak ada sekolah di Mamuju yang dieksklusifkan untuk kelompok tertentu.

Semua berbaur dalam satu sekolah yang di dalamnya tidak terdapat perbedaan berdasarkan kesukuan. Anak-anak etnis Tionghoa belajar di sekolah dasar yang juga digunakan warga lainnya agar dapat belajar membaurkan diri sejak dini.

Irwan, pemilik Toko Satu Dua, berharap keakraban dengan warga lainnya yang telah dilakukan orang tua sebelumnya, juga dilakukan generasi selanjutnya. "Memang beberapa warga lain yang baru masuk ke Mamuju, jarang kami kenal. Tapi kalau yang sudah lama tinggal di sini, hampir kami kenal semua," katanya.

Sikap toleransi dan saling menghargai dengan sesama, pesannya, yang paling dibutuhkan agar dapat tetap menjalin hubungan kekerabatan dengan orang lain. Salah seorang saudara kandungnya yang memilih memeluk Agama Islam, ujarnya, sangat dihormatinya, termasuk seluruh pantangannya telah diketahuinya dengan baik.

"Kami tidak mengenal batasan hubungan sejak dahulu. Bahkan dulu, waktu penduduk Mamuju belum banyak seperti sekarang, kalau kita naik bus ke Makassar, semua penumpang kita kenal baik. Bapak saya dari Mandar, jadi sangat cepat akrab dengan warga lain. Apalagi kita biasa kumpul-kumpul kalau ada acara," bebernya.

Kursi Legislatif Bukti Kepercayaan Masyarakat

KETUA Paguyuban Sosial Marga Tionghoa Indonesia (PSMTI) Mamuju,  Imming Wijaya, mengaku salut dengan keterbukaan dan penerimaan warga di Mamuju terhadap etnis Tionghoa. Diskriminasi dari masyarakat dan pemerintah, secara umum, kata dia, tidak pernah dirasakan hingga keturunan generasi kelima saat ini. Memang diakuinya, kemungkinan masih ada segelintir orang yang masih membedakan, tetapi tidak dapat digeneralisasi.

"Sejak awal, mulai lahir, besar, dan beranak cucu, kami telah diterima dengan baik dan dapat berpartisipasi dalam banyak hal. Saya dapat duduk di kursi legislatif DPRD Mamuju selama dua periode, menjadi bukti, bahwa kami diterima di masyarakat untuk mewakili rakyat" tutur pria kelahiran Mamuju tahun 1954 silam.

Etnis Tionghoa di Mamuju sejak menjadi ibukota Provinsi Sulbar terus bertambah seiring pertumbuhan pembangunan dan perekonomian. Jumlah keluarga keturunan etnis Tionghoa yang tercatat (PSMTI) Mamuju saat ini sebanyak 120 kepala keluarga.

Saat Mamuju belum menjadi ibukota provinsi, jumlah etnis Tionghoa hanya sekitar 30 kepala keluarga. Pintu Mamuju semakin terbuka lebar setelah menjadi pusat kota dan etnis Tionghoa lainya terus berdatangan dari Kota Palopo, Makassar, dan kota-kota lainnya.

Imming, mengemukakan, pertambahan jumlah etnis Tionghoa serta lahirnya PSMTI sejak beberapa tahun lalu, juga semakin memperbesar jalinan hubungan kekerabatan dengan warga lainnya. Kegiatan bakti sosial untuk membantu warga yang kurang mampu, menjadi salah satu agenda rutin PSMTI.

Ani dan Budi memainkan sebuah permainan sebagai berikut:
Berturut-turut setiap orang menuliskan satu buah bilangan kompleks di papan. Ani menulisnya dengan
spidol merah, dan Budi menulisnya dengan spidol biru.
Syarat bilangan kompleks $latex r$ yang boleh dipilih adalah :
a) $latex |r|<2008$
b) Untuk setiap bilangan kompleks $latex r'$ yang sudah dituliskan di papan, maka $latex |r-r'|>\frac{1}{2008}$.

Jika pada suatu saat terdapat 4 sekawan berwarna merah, maka Ani menang. Sebaliknya, jika ada 4
sekawan yang berwarna biru, maka Budi menang. Jika tidak ada lagi bilangan kompleks yang dapat
dipilih lagi, maka pemain yang kehabisan langkah kalah.

Ani mendapat giliran pertama. Buktikan bahwa ada strategi supaya Ani menang!

Catatan : Untuk $latex r=a+bi$ maka $latex |r|=\sqrt{a^2+b^2}$

Solusi
Perhatikan bahwa jika $latex t$ adalah akar dari $latex x^4+2mx^2+n^2=0$, maka $latex -t$ juga akarnya, karena merupakan fungsi genap. Jadi Ani dapat mencegah Budi mendapat empat sekawan biru dengan menuliskan nilai negatif dari bilangan Budi.

Strategi Ani adalah memilih bilangan 0, kemudian selalu memilih nilai negatif dari bilangan Budi. Sekarang kita buktikan bahwa ini akan menjamin kemenangan Ani.

Setiap kali memilih satu bilangan $latex a+bi$, anggaplah kita memilih satu titik pada koordinat yaitu $latex (a,b)$. Pada koordinat $latex (a,b)$, $latex a^2+b^2<2008^2$, sehingga batasnya adalah lingkaran berjari-jari 2008. Setiap kali memilih satu titik, kita tidak bisa memilih titik pada radius $latex \frac1{2008}$ dari titik itu. Jadi soal ini sama saja dengan menaruh tutup gelas dengan tutup gelas berjari-jari $latex \frac1{2008}$ dan meja berjari-jari 2008. Strateginya adalah Ani menulis 0, ini sama dengan titik tengah meja. Setelah itu, Ani selalu menulis nilai negatif dari bilangan Budi, ini sama dengan menaruh tutup gelas simetris dari tempat Budi.

Solusi

Buat lingkaran luar segitiga dan perpanjang $latex BD$ agar bertemu lingkaran di titik $latex E$. Hubungkan titik $latex C$ dan $latex E$. Karena $latex \angle ABD = \angle EBC$ dan $latex \angle BAD = \angle BEC$, maka $latex \triangle BAD \sim \triangle BEC$. Jadi $latex \frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}$, atau $latex BE=\frac{ac}{t}$. Dengan cara yang sama, karena $latex \triangle CDE \sim \triangle BDA$, maka $latex DE=\frac{xy}{t}$. Tetapi $latex BE=BD+DE$, sehingga $latex \dfrac{ac}{t}=t+\dfrac{xy}{t}$. Kedua ruas dikalikan $latex t$, sehingga $latex ac=t^2+xy$ terbukti.

$latex (x-y)^2+5(x-y)+25=0$.

Solusi
Persamaan tersebut dapat diubah menjadi

$latex x^2-(2y+5)x+(y^2-5y+25)=0$.

Diskriminan persamaan di atas adalah

$latex (2y+5)^2-4(y^2-5y+25)=40y-75$,

yang harus berupa bilangan kuadrat, agar nilai $latex x$ bulat. Maka $latex y$ habis dibagi 5. Pada persamaan di atas, semua koefisien kecuali $latex x^2$ habis dibagi 5, sehingga $latex x$ harus habis dibagi 5 juga. Maka misalkan $latex x=5x'$ dan $latex y=5y'$. Substitusikan ini ke persamaan awal dan sederhanakan sehingga

$latex x'^2-(2y'+1)x'+(y'^2-y'+1)=0$.

Diskriminannya adalah

$latex (2y'+1)^2-4(y'^2-y'+1)=8y'-3$,

yang tidak mungkin bilangan kuadrat. Jadi tidak ada solusi bilangan bulat.

Solusi
Misalkan $latex AB$ berada pada garis $latex y=2x-17$, dan koordinat dua titik lainnya adalah $latex C(x_1,y_1)$ dan $latex D(x_2,y_2)$. Karena $latex AB\parallel CD$, maka $latex CD$ berada pada garis $latex L$ dengan persamaan $latex y=2x+b$. Tetapi $latex C$ dan $latex D$ berada pada $latex y=x^2$, sehingga, dengan menggabungkan kedua persamaan, didapat $latex x^2=2x+b$. Jadi $latex x_{1,2}=1\pm\sqrt{b+1}$. Misalkan sisi persegi itu adalah $latex a$. Jadi

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+(2x_1-b-2x_2+b)^2$

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+(2(x_1-x_2))^2$

$latex a^2=(x_1-x_2)^2+4(x_1-x_2)^2$

$latex a^2=5(x_1-x_2)^2$

$latex a^2=5(1+\sqrt{b+1}-1+\sqrt{b+1})^2$

$latex a^2=5(2\sqrt{b+1})^2$

$latex a^2=20(b+1)$.

Tanpa mengurangi keumuman, dapat diambil titik sembarang $latex (6,-5)$ pada garis $latex y=2x-17$, dan jaraknya ke garis $latex y=2x+b$ adalah $latex a$. Maka

$latex a=\dfrac{|17+b|}{\sqrt5}$.

Substitusikan nilai ini ke persamaan di atas, sehingga

$latex \displaystyle\left(\frac{|17+b|}{\sqrt5}\right)^2=20(b+1)$

$latex \dfrac{289+34b+b^2}{5}=20b+20$

$latex 289+34b+b^2=100b+100$

$latex b^2-66b+189=0$

$latex (b-3)(b-63)=0$.

Maka didapat $latex b_1=3$, $latex b_2=63$. Jadi $latex a^2=80$ atau $latex a^2=1280$. Jadi $latex a^2_{min}=80$.

The Partition menceriterakan bagaimana seorang Sikh mantan prajurit Inggris menyelamatkan seorang perempuan muslim yang rombongan dan keluarga sedang dibantai oleh kelompok Sikh. Gian, nama Sikh ini, harus melawan kelompoknya sendiri untuk melindungi Naseem, perempuan muslim. Akhirnya mereka jatuh cinta menikah dan mendapatkan anak bernama Vijay. Naseem kemudian mencari keluarganya yang mungkin masih hidup tetapi berada di Pakistan. Di Pakistan dia menemukan ibu dan 2 kakak lakinya yang bahagia menemukan kembali anak dan adik mereka. Karena ayahanda mereka tewas dibantai, kebencian terhadap orang Sikh sangat tinggi. Mengetahui Naseem menikahi seorang Sikh membuat mereka marah dan menyekap Naseem supaya tidak kembali ke India. Sementara Gian dan Vijay yang masih balita mencari Naseem dengan memasuki Pakistan. Sebelumnya Gian masuk Islam terlebih dahulu supaya bisa masuk Pakistan dan diberi nama Muhammad Hasan. Petaka menjadi akhir kisah ini karena mereka tidak diperkenankan bersatu kembali karena seorang Sikh tetaplah Sikh dan tidak bisa menjadi Muslim. Akhir cerita dramatis ini adalah Gian tewas dan Naseem membawa Vijay kembali ke India dibawah perlindungan seorang wanita Inggris yang bekerja di kedutaan Inggris.

Perbedaan adalah Rahmat Allah dan perbedaan lah yang membuat umat manusia bisa bergerak maju. Menyeragamkan umat manusia tidak akan berhasil karena bertentangan dengan hukum alam (sunatullah). Bahkan secara biologis sudah terbukti bahwa perkawinan antar suku, antar bangsa, antar ras menghasilkan generasi manusia yang lebih sehat, lebih cantik, lebih cerdas. Perkawinan di dalam suku atau ras atau etnik sendiri sering menimbulkan tragedi, malapetaka, penyakit, dst. Kita diciptakan untuk berbagi cinta kasih walaupun manusia terbagi dalam kelompok Habil dan Qabil. Iblis merasuki Qabil sehingga iri, dengki, benci, menguasainya. Qabil hanya punya sifat hewaniyah. Itulah yang terjadi bila kita bukannya mencintai tapi membenci hanya karena perbedaan.

Mengapa sulit bagi kita mencintai? Egoisme dan nafsu membuat manusia lebih rendah daripada binatang. Sedangkan binatang yang tak punya akal tak memangsa sesamanya kecuali ada provokasi. Manusia suka memangsa sesamnya karena akalnya hilang. Kapan kita bisa berbeda pendapat, berbeda agama, berbeda politik tanpa harus membenci dan membunuh yang berbeda dengan kita?

Semoga kita semua dilindungi dan diberikan kekuatan untuk selalu mencintai.  Yang jahat akan dikalahkan oleh cinta tetapi kita pun harus melakukan dua hal - preventif dan represif terhadap yang bersalah.