Beberapa waktu yang lalu, saya ditugasi untuk memeriksa (mengoreksi) lembar jawaban dua orang mahasiswa yang berminat pindah program studi. Dari program studi lama* ke program studi yang baru di Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia.

Di lembar soal, saya lihat ada 40 soal berbentuk multiple choice, dan 3 soal lainnya berbentuk essay. Bila dilihat dari materi yang diujikan, materinya mencakup sebagian materi matematika tingkat SMP dan SMA serta sebagian lagi materi matematika untuk tahun pertama di Jurusan Pendidikan Matematika. Dan bila dilihat dari tingkat kesukaran, saya pikir, sedikit lebih sulit daripada soal-soal SPMB**.

Menariknya, saat saya akan mengoreksi dan meminta kunci jawaban soal tes pada pimpinan jurusan, kunci jawabannya "tidak ada".

"Ada nih kunci jawabannya, Pri! Tapi..."

"Tapi apa Pak?" tanya saya.

"Tapi, kunci jawaban ini untuk lembar soal yang lama, bukan untuk soal yang diujikan ke kedua mahasiswa tadi, Pri. Ya, walaupun soal-soalnya sama, tapi telanjur sudah ditukar posisi soalnya." Begitu sang pimpinan jurusan menjelaskan duduk persoalannya.

"Ya..., bapak. Jadi saya harus bikin kunci jawaban yang baru nih?" tanya saya agak sedikit kecewa.

"Ya, wayahnya aja Pri..." :D

Mengingat kenyataan tersebut, dengan sedikit terpaksa dan kecewa, saya pun mengerjakan tugas yang sudah diamanahkan. Sayapun membuat kunci jawaban.

Satu-persatu soal saya jawab. Dari sekian banyak soal yang menarik, ada satu soal multiple choice yang sangat sederhana, namun cukup menggelitik saya. Soalnya itu begini***:

Sebuah wadah berbentuk bola. Wadah tersebut diisi air sebagian. Ternyata tinggi air dalam wadah itu adalah 8 cm. Sedangkan diameter permukaan air dalam wadah tersebut adalah 24 cm. Berapa volume air maksimum yang dapat ditampung dalam wadah tersebut?

Untuk menjawab soal tersebut, saya pikir, diperlukan sedikit pengetahuan geometri tingkat SMP atau SMA Kali ya(?). Dengan sedikit usaha, soal tersebut dapat diilustrasikan dengan gambar berikut.

Dengan sedikit mengerutkan dahi dan melakukan perhitungan sederhana, saya yakin Anda pun akan berhasil menjawabnya. Mau tahu enggak jawabannya?

Mungkin bagi Anda yang jenius, alias super cerdas, soal tersebut biasa-biasa saja. Tapi, bagi saya, soal tersebut cukup menarik, elegan alias anggun. Menariknya karena informasi yang diberikan sangat simple. Tapi di balik kesederhanaannya, tersembunyi 'hal' yang menarik. Soal tersebut secara implisit memaksa saya untuk berpikir sederhana agar dapat menjawabnya. Ah pokoknya, bagi saya, menarik saja.

Saya barangkali tak mampu mengungkapkan secara gamblang kenapa soal tersebut menarik. Saya hanya bisa mengatakan bahwa saat saya berhasil menyelesaikan soal tersebut, saya terpaksa tersenyum, terheran-heran dan kagum dengan kesederhanaannya. Ya, saya kepincut dengan keanggunan soal tersebut. Walaupun soal tersebut bukanlah soal tersulit yang ada di lembar soal, yang diujikan, tapi saya menyukainya.

Barangkali ungkapan, bernada hiperbolik, yang bisa saya katakan adalah bahwa soal tersebut bisa dikatakan sebagai soal yang "cantik". Ya, soal 'cantik' yang secantik wanita barangkali. He he he... :D

***

Sambil membuat kunci jawaban saya berpikir. Sepertinya saya sedang dites lagi nih. Ya, dites apakah saya layak berada di lingkungan kerja saya saat ini atau tidak. Hue he he he... :D :mrgreen:

Setelah selesai membuat kunci jawaban, dengan segera lembar jawaban kedua mahasiswa yang ditespun saya periksa. Saya yakin mereka berdo'a dan berharap agar mereka diterima di program studi baru di Jurusan Pendidikan Matematika yang mereka dambakan. Iya Kan?

=======================================================

Ya sudah, segitu saja dulu perjumpaan kita kali ini. Mudah-mudahan artikel ini ada manfaatnya. Amin. Sampai jumpa di artikel mendatang.

Catatan:

*Jurusan dan program lama kedua mahasiswa tersebut sengaja dirahasiakan.

**SPMB = Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru. Sekarang namanya diganti jadi SNMPTN (Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri)

***Soal sedikit diubah dari aslinya, dengan tidak mengurangi kualitas soal tentunya.

Dalam suatu acara yang dihadiri para matematikawan Indonesia, tahun 2003 yang lalu, seorang ahli bahasa alias linguis mendapat kesempatan bicara di depan mereka. Ya, sang linguis* yang bertindak sebagai pejabat itu membuka acara penting bagi para matematikawan tersebut.

Saya yang kebetulan hadir waktu itu, bukan sebagai matematikawan tentunya, mendapat sebuah gurauan alias joke segar dari sang linguis tersebut. Joke yang hingga saat ini terngiang-ngiang dalam ingatan. Ah dasar tukang nginget-inget kejadian/cerita! :D

Sang Linguis: "Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh."

Para hadirin sebagian menjawab salam tersebut, sebagian yang lain, yang non muslim tentu diam saja.

Kemudian, setelah berbasa-basi kesana-kemari, mengucap salam hormat pada para hadirin, Sang Linguis ternyata sedikit iseng. Dia tak langsung ke inti pembicaraan. Tetapi, seperti biasa, sebagai seorang yang dengan kemampuan bahasa yang hebat, untuk menyegarkan suasana sepertinya, waktu itu dia sedikit bergurau.

Sang Linguis: "Sebetulnya, saya sedikit gemetar bicara di depan orang-orang jenius seperti Anda-anda sekalian. Terutama pada bapak yang di samping saya ini...." (Yang dimaksud beliau adalah pada seorang matematikawan dari salah satu perguruan tinggi yang katanya paling terkenal di Indonesia. Sementara itu Sang Matematikawan, seperti tak ada ekspresi, dingin saja.)

Sang Linguis: "Bapak yang di samping ini berkaca mata...." (Sang Linguis, seperti tertahan, beberapa detik dia berpikir, kemudian tersenyum. Sedangkan Sang Matematikawan mulai terusik, sepertinya dia bertanya-tanya ada maksud apa gerangan? Apa maksud Sang Linguis berkata demikian?)

Sang Linguis: "Nah, orang yang berkaca mata itu ada dua kemungkinan!" (Sang Linguis lagi-lagi diam beberapa detik, sang hadirin pun seperti tak sabar menanti kedua kemungkinan tersebut, senyap, diam menunggu. Apalagi sang matematikawan.)

Sang Linguis: "Kemungkinan pertama, orang berkaca mata itu pasti orang yang sangat cerdas, jenius, hebat!" (Sang matematikawan berusaha low profile, kembali tanpa ekpresi. Sedangkan hadirin yang lain, makin menanti apa gerangan kemungkinan kedua itu? Dan tetap masih senyap menyimak dengan khusu apa yang dikatakan Sang Linguis.)

Sang Linguis: "Sedangkan kemungkinan keduanya, orang yang berkaca mata itu.... " (Sang Linguis sengaja menahan perkataannya. Hadirin makin penasaran. Sedangkan matematikawan tampak bergumam, tersenyum simpul, dan sepertinya berkata, "Wah pasti bakal ga enak nih..." :mrgreen: ).

Sang Linguis: "Adalah orang yang...mmm... aaaa... mmm... aaaa... mmm... kurang gizi!!!!" :mrgreen:

Hua ha ha ha ha ha ha... hampir seluruh hadirin terbahak-bahak, tertawa, terpingkal-pingkal, termasuk saya. :mrgreen: Sang Matematikawan pun ikut tertawa, walau agak kecut sepertinya.

Selanjutnya, setelah gurauan segar tersebut, Sang Linguis, seperti pejabat lainnya, masuk ke inti pembicaraan.

Kemudian, kini giliran Sang Matematikawan maju memberikan beberapa penggal kata-katanya. Dalam isi pembicaraannya, setelah berbasa-basi, Sang Matematikawan memberi gurauan balasan.

Mohon maaf, saya tidak akan melanjutkan cerita ini. Maaf ya...

Pertanyaannya, seperti apa kira-kira balasan gurauan yang dilontarkan Sang Matematikawan pada Sang Linguis tersebut? Selamat mengira-ngira! Saya tunggu perkiraan Anda di kolom komentar.

I hope you enjoy reading this story. :D

=======================================================

Ya sudah segitu saja ya perjumpaan kita kali ini. Selamat menikmati artikel ringan ini. Semoga bermanfaat. Amin. Sampai jumpa di artikel mendatang.

Catatan: Sang Linguis itu adalah seorang professor sastra Inggris dari salah satu perguruan tinggi terkemuka di tanah air.

Perhatikan barisan bilangan berikut ini!

$latex 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...$

Ya, barisan bilangan seperti ini sering kita jumpai pada saat mengikuti psikotes, bagian tes melengkapi bilangan. Bagi kita yang mempunyai number sense cukup baik, biasanya tak sukar melengkapi barisan bilangan tersebut. Tetapi, bagi yang "mual" melihat barisan bilangan semacam itu, biasanya agak kesulitan melengkapinya.

Terlepas apakah kita merasa suka ataupun tidak dengan barisan bilangan, di sini saya akan bercerita sekitar barisan tersebut dan juga asal-muasalnya. Mau tahu? Kalau mau, mari kita simak bareng-bareng! (Jangan dijawab mari ya! :mrgreen: ).

Pertama kali saya mengenal barisan bilangan tersebut ketika saya baru duduk di bangku SMP kelas 3, sekitar tahun 1997, pada saat pelajaran matematika. Kata guru matematika saya, barisan bilangan $latex 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...$ disebut sebagai barisan bilangan Fibonacci. Waktu itu yang dipelajari hanyalah sifat-sifatnya alias aturan tentang barisan bilangan tersebut.

Seperti apa sih aturannya?

Aturannya yaitu, diberikan dua bilangan awal yakni $latex 1$ dan $latex 1$. Bilangan berikutnya diperoleh dengan cara menjumlahkan dua bilangan sebelumnya. Dalam hal ini bilangan $latex 2$ diperoleh dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya yaitu $latex 1 + 1$. Bilangan $latex 3$ diperoleh dari $latex 1 + 2 $. Begitu seterusnya! Secara sederhana, lebih jelasnya seperti berikut ini.

$latex 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...$

Dengan

$latex 2 = 1 + 1$

$latex 3 = 1 + 2$

$latex 5 = 2 + 3$

$latex 8 = 3 + 5$

Dan seterusnya!

Sehingga, dengan relatif mudah, bilangan setelah $latex 21$ adalah $latex 13 + 21 = 34$. Mudah bukan? :D

Sebetulnya saat belajar barisan bilangan Fibonacci ini saya sedikit bertanya tentang Fibonacci. Siapa Fibonacci itu? Kenapa muncul barisan semacam itu? Tetapi saya tak menanyakannnya ke guru saya. Seingat saya, beliau hanya mengatakan bahwa Fibonacci itu adalah seorang matematikawan. Tetapi tak lebih lanjut bercerita tentangnya dan juga tak bercerita kenapa barisan tersebut muncul. Tidak berceritanya beliau, mungkin karena belum tahu atau mungkin juga karena beliau menganggap cerita tentang Fibonacci itu tidak penting.

Waktu terus berjalan. Detik, menit, jam, hari, minggu, bulan, dan tahun pun terus "merangkak". Rentetan "kebetulan" pun kemudian terjadi!

Ketika saya menjadi mahasiswa baru, sekitar tahun 2000-an, saya ditanya-tanya (diospek) oleh kakak tingkat tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Waktu itu pertanyaannya sederhana saja, yaitu disebut apa dan bagaimana aturan barisan bilangan tersebut? Dan alhamdulillah, karena sudah dipelajari sewaktu SMP, saya pun bisa menjawabnya dengan mudah dan untuk sementara lepaslah dari jerat hukuman walau selanjutnya dipaksa push up juga. :D

Selanjutnya, sewaktu belajar Kalkulus dan juga Matematika Diskrit, saya pun mempelajari tentang barisan bilangan Fibonacci ini. Tentunya dengan kedalaman materi yang sesuai. Tetapi pertanyaan saya tentang siapa Fibonacci dan latar belakang muncul barisan itu belum terjawab! Ya belum terjawab dari segi historisnya.

Lagi-lagi kebetulan terjadi! Saya yang mulanya sudah cukup puas, dan kurang begitu hirau dengan latar belakang munculnya barisan Fibonacci ini, ditanya oleh teman saya tentang barisan ini. Dan menariknya, pertanyaannya sama dengan pertanyaan saya yang sudah sejak lama terpendam tersebut. Ketika ditanya, saya pun jujur menjawab belum tahu!

Selanjutnya, dan sepertinya sudah diatur, kebetulan berikutnya pun terjadi! Bersyukur, ternyata ada seorang teman saya yang lain yang sudah tahu latar belakang tentang barisan Fibonacci tersebut. Teman saya yang sebelumnya bertanya ke saya kemudian bertanya ke teman saya yang tahu tersebut. Saya sebetulya tidak terlalu hirau, namun sayup-sayup terdengar penjelasan teman saya (yang tahu tadi) bahwa latar belakang munculnya barisan Fibonacci adalah untuk menggambarkan pertumbuhan sepasang kelinci selama setahun, yang pertama kali diajukan oleh Fibonacci, matematikawan Italia yang hidup sekitar abad 12.

Selanjutnya, setelah mendengar kabar sayup-sayup tadi, saya pun jadi penasaran lagi. Dan tidak kebetulan lagi, saya waktu itu berniat mencari tahu tentang hal tersebut. Dari dunia maya ini, lewat bantuan mesin pencari, maka rasa ingin tahu saya pun terjawab!

Oh, iya. Seperti apa sih masalah yang diajukan Fibonacci tadi yang melatarbelakangi munculnya barisan bilangan tersebut?

Permasalahan yang diajukan oleh Fibonacci itu sederhananya seperti berikut ini.

Misalkan kita tempatkan sepasang kelinci muda (satu jantan, satu lagi betina) di sebuah padang rumput. Sepasang kelinci tersebut diasumsikan tumbuh jadi dewasa dan bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan. Sehingga di akhir bulan ke dua, pasangan kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci baru. Bila kita asumsikan bahwa kelinci-kelinci tersebut hidup ideal alias tidak lekas mati dan betina kelinci selalu melahirkan sepasang kelinci (satu jantan, satu betina) setiap bulan semenjak akhir bulan kedua tadi, maka akan ada berapa pasang kelinci kah dalam waktu setahun?*

Lalu, bagaimana memecahkan permasalahan ini?

Dengan relatif mudah, ternyata permasalahan tersebut dapat dijelaskan dan dijawab seperti tampak pada gambar* berikut ini

Keterangan Number of pairs (Banyaknya pasangan).

1 pasang: ketika awal bulan pertama (sepasang kelinci muda, baru mulai tumbuh jadi dewasa)

1 pasang: ketika akhir bulan pertama (sepasang kelinci muda tadi sudah dewasa dan mulai kawin)

2 pasang: ketika akhir bulan ke dua (sepasang kelinci tadi melahirkan sepasang kelinci lagi yang serupa)

3 pasang: ketika akhir bulan ke tiga (pasangan kelinci pertama melahirkan lagi sepasang kelinci muda baru, pasangan kelinci yang bulan lalu lahir mulai tumbuh dewasa).

5 pasang: ketika akhir bulan ke empat (pasangan kelinci pertama melahirkan sepasang kelinci baru, pasangan kelinci kedua pun melahirkan sepasang kelinci baru juga, sedangkan sepasang kelinci yang lahir bulan lalu baru tumbuh dewasa).

Dan begitu seterusnya! Sehingga, dengan sangat gampang, banyaknya pasangan kelinci tiap bulan tersebut digambarkan dengan barisan bilangan $latex 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...$. Lalu ada berapa pasang kelinci setelah setahun? (Silakan dijawab!) :D

Nah, karena barisan bilangan tersebut muncul gara-gara pertama kali, katanya, dikemukakan oleh Fibonacci maka disebutlah barisan tersebut sebagai barisan bilangan Fibonacci.

Akhirnya, karena saya melihat barisan bilangan Fibonacci tersebut menggambarkan banyaknya pasangan kelinci yang tumbuh berkembang di suatu padang rumput yang ideal, maka dengan sedikit becanda saya sebutlah barisan bilangan $latex 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...$ sebagai barisan bilangan "kelinci". :D :mrgreen:

========================================================

Ya sudah! Segitu dulu ya perjumpaan kita kali ini. Sampai jumpa di artikel berikutnya. Mudah-mudahan artikel ini bermanfaat. Amin.

========================================================

Catatan:

* Diterjemahkan sesuka saya dari:

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits, 1 January 2008, jam 12: 10 AM.

*Gambar diambil dari: http://educ.queensu.ca/~fmc/may2002/RabFib.gif,

1 Januari 2008, jam 12: 15 AM.

========================================================

Saya hadiahkan artikel ini khusus pada seorang teman, yang pernah "singgah di hati" saya. Siapa dia? Ya, dia adalah seorang wanita yang cerdas, cantik, manis, ramah, baik, dst (kalau disebut semua, nanti GR deh dia :D ). Mudah-mudahan bermanfaat baginya. :D Dan saya berharap semoga hadiah ini berkenan dan bisa menjawab rasa keingintahuannya. Amin.

....dalam buku ESQ Power, Ary Ginanjar, mengatakan justru kosong (berserah diri) kepada Allah SWT membangkitkan energi sempurna.

....dalam rumus, percaya (berserah diri) pada Allah (1), kemudian menyerahkan diri secara total (0), maka hasilnya tidak terhingga. Apakah secara matematika ketemu tu rumusnya?

Diambil dari: Penggalan komentar oleh Ersis WA, November 15, 2007 at 1:37 am

Ya, penggalan komentar tersebut bagi saya cukup menarik. Menariknya karena berupa pertanyaan tentang keimanan pada Yang Maha Pencipta, Allah SWT, dikaitkan dengan matematika. Menariknya lagi, saya belum tentu dapat menjawab pertanyaan ini dengan memuaskan. Namun demikian, saya akan coba menjawab sesuai pengetahuan saya yang (memang) sederhana ini.

Bila kita berserah diri pada Allah yang satu ($latex 1$) kemudian menyerahkan diri secara total 0 (nol) hasilnya bisa tidak terhingga (alias sangat besar nilainya), bagaimana ini bisa terjadi?

Sebetulnya masalah ini pernah dibahas di artikel lain yang berjudul Matematika dan Keimanan, Apa Hubungannya? dalam bentuk cerita. Tapi, baiklah sekarang saya bahas lagi dengan penuturan berbeda.

Secara "matematis" *, hubungan seperti apa yang mengkaitkan bilangan 0 (nol) dan $latex 1$ sehingga menghasilkan bilangan yang nilainya tidak berhingga? Mudah saja, yaitu hubungan pembagian. Bagaimana bisa?

Dengan tidak mengerutkan dahi, kita bisa memahami hasil-hasil perhitungan berikut ini.

$latex \frac{1}{0,1}= 10$

$latex \frac{1}{0,01} = 100$

$latex \frac{1}{0,001} = 1000$

$latex \frac{1}{0,0001} = 1000$

$latex \frac{1}{0,00001} = 10000$

$latex \frac{1}{0,000001} = 100000$

$latex \frac{1}{0,0000001} = 1000000$

$latex \frac{1}{0,00000001} = 10000000$

$latex \frac{1}{0,000000001} = 100000000$

Bila pembagi dari bilangan $latex 1$ ini kita perkecil terus hingga mendekati nol, misal kita ambil $latex 0,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000001$ (Bilangan ini sangat kecil sekali, yakni bilangan yang mendekati nol), maka hasil pembagian bilangan $latex 1$ oleh bilangan ini adalah sebuah bilangan yang sangat besar, yakni $latex 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$ (Besar sekali hasilnya, bukan? Saking besarnya, biasanya dikatakan hasilnya mendekati tak berhingga). Nah, bila kita membaginya dengan bilangan nol, tentu hasilnya tak berhingga.*

Bagaimana? Mudah-mudahan dapat dimengerti!

=======================================================

Bila ingin tahu makna sehari-hari dari masalah yang dibahas dalam artikel ini, silakan baca artikel yang judulnya: Matematika dan Keimanan, Apa Hubungannya?

=======================================================

Mudah-mudahan artikel ini ada manfaatnya. Amin.

Sampai jumpa di artikel selanjutnya. Yakni, di artikel saya yang ke $latex 101$. (Insya Allah, bila blog stats sudah menunjukkan bilangan lebih dari $latex 100 000$, maka saya akan menulis lagi. Kalau belum, ya saya tungguin diam dulu. Hehehehehehe... :D )

Catatan: *Sebetulnya $latex \frac{1}{0}$ dalam matematika hasilnya dikatakan tak didefinisikan karena nilainya maha besar (alias tak berhingga). Kenapa? Karena, saking besarnya, para matematikawan tidak tahu berapa nilanya, makanya dengan sedikit akal mereka menyebutnya "tak didefinisikan" (karena saking putus asanya mereka). Hahahaha... :D

Cerita berikut ini adalah lanjutan dari cerita: Jawabannya 4 dan 9

Di ruang guru, Pak Syahrudin mendiskusikan pertanyaan yang diajukan Tom dengan guru-guru matematika yang lain.

Oh, iya. Pertanyaan dari Tom itu begini:

Bilangan berapa saja yang bila dijumlahkan hasilnya $latex 4$ tapi bila dikalikan hasilnya $latex 18$? Atau bila ditulis dengan simbol begini soalnya.

dan “

Sebetulnya pertanyaan tersebut mudah dijawab oleh Pak Syahrudin, tetapi jawabannya mencakup content matematika di luar cakupan matematika tingkat SMP. Makanya Pak Syahrudin tak langsung menjawabnya di kelas. Beliau perlu masukan dari guru matematika lain bagaimana menjawab pertanyaan yang diajukan salah satu murid terbaiknya itu.

Bila dijawab dengan cara yang sudah biasa diketahui, caranya seperti berikut ini (bagi yang tidak berminat tidak usah membacanya).

Since $latex m + n = 4$, then $latex n = 4 - m$. Substituting this to $latex m.n = 18$, we obtain $latex m(4-m) = 18$. Doing a little computation we obtain $latex m^2 - 4m + 18 =0$. Using the quadratic formula, we have solutions $latex m = 2 + i\sqrt{14}$ and $latex m = 2 - i\sqrt{14}$.

For $latex m = 2 + i\sqrt{14}$ then $latex n = 2 - i\sqrt{14}$

For $latex m = 2 - i\sqrt{14}$ then $latex n = 2 + i\sqrt{14}$

(Mohon maaf bagi penutur bahasa Indonesia tulen, saya lagi ingin menulis jawaban ini dalam bahasa wong bule.... ). :D

Jawaban pertanyaan Tom itu dalam bentuk bilangan complex, makanya tidak langsung dibahas di kelas oleh Pak Syahrudin.

"Iya nih, kalau saya jawab dengan cara biasa, maka hasilnya adalah bilangan complex," begitu kata Pak Syahrudin pada Pak Bangun salah seorang guru matematika lainnya.

"Iya juga ya," Pak Bangun setuju, sambil melihat pertanyaan dan hasil perhitungan Pak Syahrudin.

"Kalau begitu, menurut bapak, cara penyampaiannya bagaimana nih? Jawaban soal ini dalam bentuk bilangan kompleks (biasa dikenal dengan jawaban yang imajiner) itukan setidaknya mulai dikenal sejak tingkat SMA, bahkan umumnya baru dikenal di tingkat perguruan tinggi," lanjut Pak Syahrudin.

Pak Bangun tampak berpikir, diam! Pak Syahrudin, juga berpikir, tapi sepertinya menunggu pendapat Pak Bangun.

Guru-guru matematika yang lain ikutan nimbrung. Melihat permasalahan yang diajukan si Tom yang sedang dibahas oleh Pak Syahrudin dan Pak Bangun.

Terjadilah diskusi yang ramai. (Ini jarang-jarang lho, biasanya di ruang guru itu banyaknya ngegosip... sok tahu ya saya ini? :D )

[ Bersambung...]

Ya sudah, segitu dulu ceritanya ya. Nanti saya sambung lagi deh.... Mudah-mudahan cerita ini ada manfaatnya bagi para pembaca pada umumnya, bagi guru pada khususnya, dan bagi para guru matematika (sangat) khususnya. Amin.

=======================================================

Oh, iya. Ada yang menarik nih! (Menarik engga ya?)

Sambil menulis artikel ini, saya chatting sama beberapa teman. Salah seorang teman saya bertanya sambil becanda. Begini pertanyaan dan jawabannya.

Teman saya: "Menurutmu: bagaimana suara orang bertepuk dengan satu tangan?"

Jawaban saya: "Eeeeuh eeeuh eeeuh eeeuh."

Teman saya: "Kok bisa?"

Jawaban saya: "Ya iya laaaaaaah, kan suara orangnya, bukan suara tepukannya."

Teman saya:" :D "

Di sebuah ruang kuliah, seorang professor berkata ke mahasiswa-mahasiswanya. "Pertemuan kuliah kita tinggal beberapa kali saja, " begitu kata professor itu ketika akan menutup kuliahnya.

"Untuk itu, kita lihat waktu-waktu perkuliahan kita. Nah, karena sekarang tanggal 3, maka..." begitu kata sang professor sambil menulis angka tiga di papan tulis, namun tiba-tiba beliau berhenti bicara. Berhenti bicara karena dia baru sadar, baru ingat bahwa saat dia bicara waktu itu adalah baru tanggal $latex 2$, belum tanggal $latex 3$ seperti yang dia katakan dan tuliskan di papan tulis.

Sang professor sambil diam memeriksa tanggal yang ada di jam tangannya. "Waduh, saya salah! Harusnya sekarang itu tanggal $latex 2$," begitu katanya. Kemudian sang professor terdiam, mungkin berpikir bagaimana dia memperbaiki kekeliruan ucapannya. Sementara itu mahasiswa-mahasiswanya hanya duduk sambil senyam-senyum menyaksikan tingkah professornya yang "rada-rada aneh =lucu".

"Baiklah, karena sekarang tanggal $latex 2$ berarti pertemuan berikutnya, yakni seminggu kemudian, adalah tanggal $latex 9$ alias tanggal $latex 3^2$," begitu kata sang professor sambil menulis angka $latex 2$ di atas angka $latex 3$ yang tadi dia tuliskan (sehingga sekarang tertulis $latex 3^2$ (baca: tiga kuadrat artinya $latex 3\times 3$)). Kemudian secara spontan tindakannya itu disambut senyum, tawa, dan ekspresi kagum mahasiswa-mahasiswanya.

"Hehehe... sekarang saya tidak salah lagi bukan?" begitu kata professor dengan senyum cerah. Mahasiswanya makin tersenyum lebar dan bahkan tertawa menyambut aksi luar biasa sang professronya itu. Betapa tidak luar biasa? Beliau mampu mengubah keadaan, dari kekeliruan menjadi sesuatu yang benar lewat cara yang sangat kreatif dan cerdas!

"Nah, karena pertemuan minggu depan adalah tanggal $latex 3^2$, maka pertemuan dua minggu mendatang adalah tanggal $latex 16$," begitu kata sang professor.

Salah seorang mahasiswanya nyeletuk, "Berarti dua minggu ke depan adalah tanggal $latex 4^2$."

"Ya, kamu benar!" begitu kata sang professor. Kemudian sang professor melanjutkan tulisannya di papan tulis. Yang tertulis begini:

$latex 3^2$ November pertemuan minggu depan di perpustakaan kampus

$latex 4^2$ November pertemuan dua minggu depannya lagi di tempat biasa

"Hehehe... pertemuan kuliah kita memang cantik, seperti kuliah Number Theory saja," kata sang professor disambut lagi-lagi tawa oleh mahasiswanya. "Hmmmh sayang ya pertemuan tiga minggu ke depan bukan tanggal $latex 5^2$," begitu katanya. Kemudian setelah bicara ke sana kemari, kuliahpun berakhir.

*****

Ya, cerita tersebut adalah secuil kisah nyata dalam perkuliahan yang sedang saya ikuti saat ini. Kuliah yang saya ikuti tanggal $latex 2$ November 2007 yang lalu, kuliah tentang "History of Mathematics" oleh Prof. Jan van Maanen. Beliau adalah salah seorang ahli sejarah matematika (mathematics historian) terkemuka dari negeri Belanda saat ini. Foto sang professor itu terpampang di artikel ini, seperti tampak di atas. (Waduh saya belum minta ijin padanya, saya minta ijin dulu ya? Kalau diijinkan akan terus saya pajang, kalau tidak, nanti akan saya tarik dari peredaran). :D

=======================================================

Ya sudah, segitu dulu ya ceritanya. Cerita tentang dosen saya yang kreative, hebat, pintar, dan humoris itu. Masih buanyak cerita-cerita menarik lainnya. Insya Allah, lain kali akan saya ceritakan. Sampai jumpa pada pertemuan berikutnya. Mudah-mudahan tulisan ini ada manfaatnya. Amin.

assalamualaikum

siang pak jupri? Selamat menunaikan ibadah puasa. oya,
puasa di negeri orang gimana rasanya?
Yup! matematika sekolah tu apa to?
boleh tu aku request artikel tentang matematika sekolah di
blognya pak jupri. sebelumnya terimakasih atas dibacanya
suratku, n makasih sebelumnya kalo requestku di kabulkan.

assalamualaikum

Ya, petikan tersebut adalah sebuah e-mail* alias surat elektronik yang saya terima dari salah seorang pembaca blog ini. Saya sendiri tidak tahu siapa dia? Tapi dari penuturannya, lewat beberapa e-mail sebelumnya, dia adalah seorang mahasiswa yang cukup aktif di kampusnya. Cuma sayang saya tak pernah diberi tahu siapa dia sesungguhnya. Bagi saya itu tidaklah mengapa. Sah-sah saja dia merahasiakan identitasnya karena hal tersebut hak pribadi masing-masing, dan saya perlu menghargainya. Betul? :D Yang penting, kewajiban saya hanya menanggapi surat tersebut. Dan sengaja saya tulis di sini untuk memenuhi permintaannya.

Begini tanggapan saya.

Yang pertama akan saya tanggapi yaitu masalah utama yang ditanyakan dalam surat tersebut, yakni tentang matematika sekolah. Apa sih matematika sekolah itu?

Hmmm..., apa ya? Menurut yang saya tahu, sederhana-nya, matematika sekolah adalah matematika yang diajarkan di tingkat sekolah. Yakni matematika yang (pernah) kita pelajari sejak SD hingga SMA atau yang sederajat.

Lho, kok cuma begitu saja sih pengertiannya? Kok jawabannya seperti asal-asalan sih? Kalau cuma begitu saja sih, semua orang juga tahu. :mrgreen:

Berdasarkan pengalaman saya semasa kuliah dulu dan kemudian pernah mengasisteni selama satu semester pada tahun 2005, di Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia, yang namanya matematika sekolah yaitu matematika yang diajarkan di tingkat sekolah. Nah, matematika untuk tingkat sekolah ini dibahas dalam suatu mata kuliah yang dinamakan Kapita Selekta Matematika Sekolah**. Mata kuliah ini dikhususkan untuk para calon guru matematika yang pembahasannya memfokuskan pada penguasaan materi matematika sekolah.

Apa saja materi atau isi mata kuliah tersebut? Apakah semua materi matematika sekolah dibahas? Lalu tujuan mata kuliah tersebut apa? Bukankah semua calon guru matematika itu sudah pernah belajar matematika sekolah, kenapa mereka perlu belajar lagi di mata kuliah tersebut? Mudah-mudahan uraian berikut bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan di paragraf ini. :D

Tidak semua materi matematika sekolah dibahas di mata kuliah Kapita Selekta Matematika tersebut. Hanya topik-topik terpilih yang dianggap esensial***. Topik-topik yang esensial ini dapat dimaknai beberapa macam. Pertama, topik penting yang seringkali terjadi miskonsepsi di kalangan siswa, calon guru matematika, dan bahkan guru matematika yang sudah berpengalaman sekalipun. Kedua, topik matematika sekolah yang tidak dibahas di mata kuliah lain di tingkat perguruan tinggi. Dan ketiga, topik matematika yang bisa dijadikan pengayaan atau pilihan di tingkat sekolah.

Banyak topik esensial yang seringkali terjadi salah pengertian (miskonsepsi) di kalangan siswa, calon guru matematika, dan para guru matematika**** di lapangan. Mulai dari topik persamaan kuadrat, trigonometri, hingga geometri. Contohnya, masih banyak di antara mereka yang salah menjawab bila ditanya berapa nilai dari sin $latex 30$ (baca: sinus tiga puluh)? Jawaban mereka umumnya adalah $latex \frac{1}{2}$. Sepintas jawaban ini benar. Padahal bila kita cermat menyimak pertanyaannya, jelaslah jawaban ini salah. Sebab $latex 30$ di pertanyaan tersebut adalah $latex 30$ radian, bukan $latex 30$ derajat. Nah, nilai $latex \frac{1}{2}$ itu benar bila pertanyaannya adalah berapa nilai sin $latex 30^0 $ (baca: sinus tiga puluh derajat)? Jadi, nilai sin $latex 30$ itu berapa? Ayo berapa? Hehehe... :D

Contoh lain miskonsepsi yang terjadi itu misalnya begini.

Tentukan nilai-nilai $latex x$ yang memenuhi persamaan $latex x^2 + 3x + 2 = 0$.

Jawaban orang yang miskonsepsi itu misalnya seperti berikut ini.

$latex x^2 + 3x + 2 = 0$

$latex (x + 1) (x + 2) = 0$

$latex x = - 1$ dan $latex x = -2$.

Sehingga nilai-nilai $latex x$ yang memenuhi persamaan adalah $latex \{ -2, -1 \}$.

Sekurang-kurangnya ada dua hal kekeliruan yang terjadi dalam penyelesaian tersebut. Pertama penggunaan kata "dan" serta pembuatan kesimpulan berupa penulisan himpunan penyelesaian, yaitu $latex \{ -2, -1\}$. Penggunaan kata "dan" kurang tepat, kenapa? Ayo kenapa? Yang tepat apa? Sedangkan pembuatan kesimpulan berupa penulisan himpunan penyelesaian juga keliru karena dalam perintah soal tidaklah diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian (istilahnya antara perintah soal dan jawaban tidak nyambung, tidak logis.) :D

Masih banyak contoh lain tentang miskonsepsi ini, yang bila dicantumkan maka tidaklah efisien. Hal-hal semacam tersebut walau sepele, sangat penting untuk diperbaiki. Betul? Kenapa? (Silakan jawab sendiri!) Hehehe... :D Karena matematika bukan hanya mengajarkan keterampilan berhitung, bukan hanya keterampilan mengerjakan soal, bukan hanya aspek praktis yang dikejar. Tapi, matematika juga mengajarkan aspek-aspek lain berupa kecermatan, ketelitian, berpikir logis, bertanggung jawab, disiplin, hingga keimanan. Setuju? :D

Sedangkan topik matematika yang sudah dipelajari di mata kuliah lain, tentu tidak lagi dibahas di mata kuliah Kapita Selekta Matematika ini. Contohnya, topik tentang matriks dipelajari di mata kuliah Aljabar Matriks atau Aljabar Linear. Topik turunan dan integral dipelajari di mata kuliah Kalkulus. Topik irisan kerucut dipelajari di mata kuliah Geometri Analitik, dll.

Untuk topik pengayaan di tingkat sekolah saya pikir banyak contohnya. Bisa diambil dari materi yang tidak tercantum di kurikulum atau diambil dari materi yang tercantum di kurikulum tapi yang tingkat kesukarannya tinggi. Sedang topik pilihan, misalnya topik matematika untuk sekolah kejuruan.

Yang kedua yang ingin saya tanggapi yaitu ucapan selamat berpuasa dan kabar bagaimana rasanya puasa di negeri orang ini (negeri Belanda). Jawaban saya, terimakasih atas ucapan selamatnya, dan saya pun mengucapkan selamat berpuasa juga padanya (bila dia berpuasa), mudah-mudahan amal ibadah kita diridhoi oleh-Nya, oleh Allah SWT. Amin. :D Sedangkan kabar bagaimana rasanya puasa saya di negeri orang, jawaban saya, alhamdulillah kabarnya baik, rasanya saya pikir menyenangkan dan hingga saat ini dan insya Allah sampai selesai bulan Ramadhan tahun ini saya akan konsisten menjalankan ibadah puasa tersebut. Amin.

Yang ketiga ingin saya tanggapi yakni ada perkataan yang tertulis: "siang pak jupri?" Apa tanggapan saya? Ya, saya bingung menanggapinya. :mrgreen: Kenapa? Karena perkataan tersebut diakhiri tanda tanya, artinya dia bertanya apakah pada saat dia menulis surat untuk saya itu "siang"? Saya tidak tahu (saya tidak mengecek waktu ketika dia kirim e-mail tersebut. :D ) Lagi pula, kalaupun tidak diakhiri tanda tanya, saya juga bingung menjawabnya. Kata "siang" di situ bisa berarti "selamat siang". Perkataan "selamat siang" pun saya bingung pula menjawabnya karena ucapan selamat itu untuk si "siang" atau untuk siapa? Kalau ucapan itu menyatakan ucapan selamat untuk saya, saya akan jawab terimakasih dan mudah-mudahan saya selamat selamanya, dunia dan akhirat (karena itu dalam ajaran agama saya, Islam, ucapan selamat terbaik bila untuk menyapa seseorang adalah dengan ucapan salam: Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh). Terus, menurut kaidah penulisan bahasa Indonesia, huruf pertama di awal kalimat itu harusnya ditulis dengan huruf kapital. Dan nama orang harusnya ditulis diawali dengan huruf kapital pula. Dan masih banyak lagi sebetulnya yang ingin saya tanggapi (cuma saya cukupkan sekian saja ya.... :D ). Hehehehe..., paragraf ini boleh dibaca boleh juga tidak dibaca (cuma becanda tapi becanda yang benar = serius). :D

Yang terakhir ingin saya tanggapi yaitu karena di awal dan di akhir surat tersebut ditulis ucapan salam yang sama, maka saya pun akan menjawab: "Wa'alaikum salam warahmatullahi wabarakatuh" :D

=======================================================

Ya sudah segitu saja ya untuk pertemuan kita kali ini. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Mudah-mudahan tulisan ini ada manfaatnya. Amin.

Catatan:

*e-mail = electronic mail = surat elektronik

**Kabarnya, baru-baru ini, setelah kurikulum berganti, jumlah SKS mata kuliah tersebut bertambah. Yang semula cuma $latex 4$ SKS, sekarang berubah menjadi $latex 6$ SKS.

***Lebih jelasnya silakan lihat di sini. (Walau ini cuma versi lama banget= jaman dulu)

****Banyak guru matematika yang latar belakang pendidikannya bukan dari matematika atau pendidikan matematika. Diduga guru-guru semacam ini yang seringkali melakukan miskonsepsi, walau guru yang berlatar belakang matematika atau pendidikan matematika pun banyak yang melakukannya. Betul? :D

Tergerak untuk menanggapi komentar salah seorang komentator di blog ini, yaitu kang Spitod-san, yang meminta untuk membahas kalkulus di blog ini, saya langsung berfikir, memeras pikiran. Mengingat-ingat materi kalkulus yang kira-kira bisa disajikan secara menarik, tidak bertele-tele, dan insya Allah mudah dipahami oleh masyarakat pembaca secara luas.

Saya langsung teringat tentang daun kelor. Kenapa saya teringat nama daun ini ya? Aneh!

Mari kita lihat jawabannya.

Bagi yang belum tahu daun kelor itu seperti apa, berikut ini gambarnya*.

Gambar 1. Daun kelor yang masih ada di rantingnya

Berdasarkan pengalaman sehari-hari, daun kelor itu banyak manfaatnya. Apa saja?

Ya daun kelor itu selain dapat digunakan sebagai obat sakit perut, juga bisa digunakan sebagai bahan sayur-mayur, yakni dibuat sayur bening yang nikmat (sumbrah) rasanya. Apalagi bila sayur daun kelor ini dicampur dengan buah pohon kelor, kelentang namanya. Wah, sayur ini makin lezat rasanya. Saya tahu tentang hal ini karena dulu di sekitar rumah nenek saya, banyak sekali tumbuh pohon kelor yang sengaja ditanam sebagai pagar, yang daun dan buahnya sering dibuat sayuran oleh keluarga kami sehari-harinya.

Oh, iya. Kata nenek saya, sayur daun kelor itu bisa juga dipakai untuk memperlancar ASI* bagi ibu-ibu yang sedang menyusui. Pun dapat digunakan sebagai sayur sehat bagi balita yang sedang tumbuh berkembang. Sayur daun kelor juga dapat digunakan untuk menetralkan perut yang terasa panas bila kita banyak memakan daging.

Selain dipakai sebagai sayur dan obat, daun kelor pun punya kegunaan lain. Saya pernah mendengar gossip bahwa daun kelor itu dapat digunakan untuk menangkal sihir atau guna-guna. Ada juga yang mengatakan bahwa daun kelor itu dapat digunakan untuk melumpuhkan orang yang kebal senjata, tahan peluru, tak mempan dibacok atau digorok. (Tapi saya sendiri belum pernah menyaksikan hal-hal ini, dan saya tak boleh mempercayainya. Makanya hal-semacam ini saya coret saja ya. )

Selain teringat akan beberapa manfaat daun kelor tersebut, saya pun teringat akan pribahasa yang sudah sangat terkenal di masyarakat kita. Ya, "Dunia tak seluas daun kelor."** Biasanya pribahasa ini dipakai sebagai pembangkit rasa optimis, penguat hati agar tak putus asa bagi mereka yang baru putus cinta. Baik putus cinta karena ditinggal pria atau ditendang wanita. Hahaha.... maaf ya :D

Bicara tentang pribahasa "ini", ada perkataan yang membuat rasa ingin tahu dalam diri saya ini. Ya perkataan itu adalah "seluas daun kelor" . Pertanyaan saya, pernahkah kita menghitung luas daun kelor itu? Saya yakin banyak yang belum pernah menghitungnya. Betul? Tak menghitungnya itu bisa karena memang dianggap tak penting, atau juga karena tak tahu cara menghitung luasnya.

Karena itu, di artikel ini saya mengajak para pembaca sekalian untuk menghitung bersama-sama luas (sebuah) daun kelor tersebut. Tapi, bagaimana caranya? Caranya bagaimana ya?

Haha..., biar kelihatan keren**, saya mengajak pada para pembaca sekalian untuk menghitung luas sebuah daun kelor tersebut menggunakan salah satu ilmu kalkulus yang pernah saya pelajari dulu, yakni kalkulus integral. Caranya seperti berikut ini.

Kita asumsikan panjang daun kelor itu sekitar $latex \frac{3}{2}$ cm. Karena bentuk daun kelor itu simetris, kita cukup menghitung setengah luas daunnya. Kemudian bila setengah luas daun ini sudah kita ketahui, maka kita tinggal kalikan dengan dua saja hasilnya. Maka luas sebuah daun kelor pun dapat kita ketahui.

Baiklah, berikut ini sketsa gambar setengah daun kelor yang akan kita hitung luasnya.

Gambar 2. Sketsa daun kelor yang diasumsikan berbentuk grafik $latex f(x) = ax^2 + bx + c$ dibatasi sumbu-X, garis $latex x = 0$ dan garis $latex x = \frac{3}{2}$.

Untuk menentukan luas sketsa daun kelor tersebut, kita perlu menentukan dulu "persamaan" $latex f(x)$ nya. Kita asumsikan sketsa daun kelor itu berbentuk grafik $latex f(x) = ax^2 + bx + c$ dibatasi sumbu-X yang melalui titik $latex (0,0)$, $latex (\frac {3}{2}, 0)$, dan titik puncaknya di $latex (\frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ . (Silakan tentukan "persamaan" $latex f(x)$ nya!)

Bila kita sudah dapat menentukan "persamaan" $latex f(x)$ nya, maka dengan mudah kita dapat menentukan luas setengah sketsa daun kelor tersebut. Yakni dengan menghitung $latex \int_0^{\frac{3}{2}} f(x) \, dx$ (baca: integral $latex f(x)$ dengan batas bawah $latex 0 $ dan batas atas $latex \frac{3}{2}$.) Hasil perhitungan ini lalu kita kali dengan dua, maka didapatlah hasilnya yaitu luas sebuah daun kelor secara utuh.

Nah, mudah bukan? (Jangan dijawab bukan ya... :D )

Selamat mencoba! Mudah-mudahan berhasil!*** Amin.

=======================================================

Ya sudah, segitu saja ya untuk pertemuan kita kali ini. Sampai jumpa di tulisan berikutnya. Mudah-mudahan tulisan ini ada manfaatnya. Amin.

Catatan:

* Sumber Gambar 1.

http://www.prn2.usm.my/mainsite/plant/images/moringa2.jpg

* ASI = Air Susu Ibu

** Saya juga pernah menulis artikel dengan judul: Dunia yang Seluas Daun Kelor (Catatan 5)

** Sebetulnya luas daun kelor itu bisa saja dihitung dengan cara yang sangat sederhana. Ayo bagaimana caranya? Tapi, di sini saya ingin menghitungnya dengan teknik yang lebih akurat. Yakni dengan kalkulus integral.

*** Secara mencengangkan saya dapatkan hasil perhitungan yang sangat cantik, hasil yang istimewa. Bila para pembaca sekalian belum tahu jawabnya, nanti insya Allah saya beri tahu jawabannya.

Penting!!!

Sekali lagi, pada para pembaca yang beriman, saya ucapkan selamat menunaikan ibadah puasa Ramadhan 1428 H. Mohon maaf bila selama ini ada perkataan, baik lisan atau tulisan, yang kurang berkenan. Mudah-mudahan dengan saling memaafkan akan makin menambah semangat dan keikhlasan kita untuk beribadah pada-Nya, pada Allah SWT. Mudah-mudahan amal ibadah di bulan suci penuh rahmat dan ampunan ini diridhoi oleh-Nya. Amin.