Solusi
Mudah dilihat bahwa setiap persegi dapat dibagi menjadi empat persegi kecil. Jadi, jika kita sudah membagi menjadi n persegi, kita bisa membagi menjadi n+3 persegi dengan cara membagi satu persegi menjadi empat (empat persegi kecil bertambah, yang besar hilang). Karena kita bisa membagi menjadi 4, kita juga bisa membagi menjadi 7,10,13,16,dan seterusnya.

Kita juga bisa membagi menjadi 6 dan 8 dengan cara seperti di gambar. Jadi kita bisa membagi menjadi 9,12,15,..., dan 11,14,17,... Maka terbukti.

Solusi
Misalkan $latex N=1010101\ldots1$, di mana terdapat $latex k$ angka 1. Maka

$latex 99N=999\ldots9=10^{2k}-1=(10^k+1)(10^k-1)$.

Jika $latex N$ bilangan prima, maka $latex N$ habis membagi salah satu dari $latex 10^k+1$ atau $latex 10^k-1$. Maka salah satu dari $latex \frac{99}{10^k+1}=\frac{10^k-1}{N}$ dan $latex \frac{99}{10^k-1}=\frac{10^k+1}{N}$ adalah bilangan bulat. Jadi 99 habis dibagi salah satu dari $latex 10^k+1$ atau $latex 10^k-1$. Tetapi untuk $latex k>2$, kedua bilangan $latex 10^k+1$ dan $latex 10^k-1$ lebih besar dari 99. Maka $latex k\le2$. Tetapi untuk $latex k=1$, maka $latex N=1$, yang bukan bilangan prima. Maka satu-satunya bilangan prima adalah jika $latex k=2$, yaitu $latex N=101$.

Solusi
Perhatikan bahwa

$latex n^3+100=(n+10)(n^2-10n+100)-900$.

Jadi jika $latex n^3+100$ habis dibagi $latex n+10$, maka 900 juga habis dibagi $latex n+10$. Untuk mendapat nilai maksimumnya, $latex n+10=900$, sehingga $latex n=890$.

Solusi
Jika suatu bilangan $latex \le100$ memiliki $latex n$ faktor, yaitu $latex p_1$, $latex \ldots$, $latex p_n$, maka tahanan itu membuka atau menutupnya pada putaran ke $latex p_1$, $latex \ldots$, $latex p_n$. Maka setelah 100 putaran, pintu yang nomornya memiliki banyak faktor ganjil akan terbuka, sedangkan yang memiliki faktor genap akan tertutup. Jika suatu bilangan $latex x$ memiliki faktor $latex d$, maka bilangan itu memiliki faktor lain $latex x/d$. Maka setiap bilangan memiliki faktor bilangan genap, kecuali $latex d=x/d$ atau $latex x=d^2$, yang mengakibatkan $latex x$ adalah bilangan kuadrat. Jadi, hanya bilangan kuadrat yang memiliki banyak faktor ganjil. Maka, pintu yang terbuka adalah yang bernomor bilangan kuadrat, yaitu 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Ada 10 pintu yang terbuka.

Solusi
Misalkan bilangan itu $latex N$. Maka tiga angka terakhir dari $latex N^2$ sama dengan $latex N$, sehingga $latex N^2-N$ berakhiran dengan tiga angka 0. Maka $latex N^2-N$ habis dibagi 1000, atau $latex N(N-1)$ habis dibagi 1000, tetapi 1000 habis dibagi 8 dan 125, sehingga salah satu dari $latex N$ atau $latex N-1$ habis 125, dan yang lainnya habis dibagi 8. Jika $latex N$ habis dibagi 125, $latex N-1$ habis dibagi 8, maka $latex N=625$. Jika $latex N-1$ habis dibagi 125, $latex N$ habis dibagi 8, maka $latex N-1=375$ dan $latex N=376$.

Jika $latex N^2$ memiliki tiga angka terakhir sama dengan $latex N$, maka $latex N$ dipangkatkan bilangan asli apapun selalu sama dengan $latex N$, karena tiga angka terakhirnya berulang terus-menerus. Maka bilangan itu 625 atau 376.

Solusi
Misalkan terdapat bilangan $latex 2^a$ yang jika angka-angkanya disusun ulang, menjadi $latex 2^b$.

Misalkan terdapat angka $latex x$, nilainya pada bilangan $latex 2^a$ adalah $latex x\cdot10^m$, sedangkan nilainya pada $2^b$ adalah $latex x\cdot10^n$. Maka selisihnya $latex |x(10^m-10^n)|$ habis dibagi 9, karena $latex 10^m$ dan $latex 10^n$ keduanya $latex \equiv1\pmod9$. Maka $latex |2^a-2^b|$ habis dibagi 9, yang tidak mungkin karena bilangan itu hanya memiliki faktor 2. Jadi tidak ada bilangan pangkat dari dua, yang jika disusun kembali angka-angkanya, menjadi bilangan lain pangkat dari dua.

Solusi
$latex \text{N}$ berakhiran dengan 80 sehingga habis dibagi $latex 2^2$ dan 5.

Jumlah angka pada posisi ganjil dari $latex \text{N}$ adalah

$latex 9+(0+1+2+...+9)+(0+1+2+...+9)+...+(0+1+2+...+9)+0=279$.

Jumlah angka pada posisi genap dari $latex \text{N}$ adalah

$latex 1+(2+2+...+2)+(3+3+...+3)+...+(7+7+...+7)+8=279$.

Jumlah angkanya adalah $latex 279+279=558$, sehingga habis dibagi 9. Selisih angka-angka posisi ganjil dengan genap adalah 0, sehingga habis dibagi 11.

Jadi N habis dibagi $latex 2^2\cdot5\cdot9\cdot11=1980$.