]]> http://artofmathematics.wordpress.com/?p=700 Sat, 19 Jul 2008 00:42:20 +0000 Johan http://artofmathematics.wordpress.com/?p=700 Dari IMO 1968 (lagi-lagi), soal pertama hari pertama. Ini soal geometri, tetapi mengandung unsur teori bilangan.

Cari semua segitiga yang panjang sisi-sinya adalah bilangan bulat berurutan, dan salah satu sudutnya dua kali satu sudut lain.

Misalkan segitiga itu $latex ABC$ dengan panjang sisi $latex a,b,c$, dan $latex \angle C=2\angle B$.

Buat perpanjangan $latex BC$ melalui $latex C$ menjadi $latex BD$, sehingga $latex CD=b$. Perhatikan bahwa $latex \angle ADC=\frac12\angle C=\angle B$. Jadi $latex AD=c$. Maka $latex \triangle ACD\sim\triangle DAB$, yang menyebabkan $latex \frac{DA}{BD}=\frac{AC}{AD}$ atau $latex c^2=b(a+b)$.

Karena $latex a,b,c$ adalah bilangan bulat berurutan, kita perhatikan kasus $latex (a,b,c)=(a,a-1,a-2),(a,a-2,a-1),(a,a-1,a+1)$, karena $latex a>b$. Pemeriksaan kasus ini ditinggalkan untuk pembaca, dan kita akan mendapat bahwa segitiga yang memenuhi adalah yang memiliki panjang sisi $latex (6,5,4)$.

Setiap titik sudut pada tetrahedron terhubung dengan tiga rusuk. Buktikan bahwa setiap tetrahedron memiliki titik sudut yang tiga rusuknya memiliki panjang yang tepat untuk membentuk segitiga.

Tetrahedron adalah bangun ruang yang memiliki empat bidang berbentuk segitiga, seperti gambar berikut.

Misalkan ada tetrahedron sebarang $latex ABCD$. Asumsikan sebaliknya bahwa tetrahedron $latex ABCD$ tidak memiliki titik sudut yang tiga rusuknya dapat membentuk segitiga. Maka $latex AB\ge AC+AD$ dan $latex AB\ge BC+BD$, yang menyebabkan $latex 2AB\ge AC+AD+BC+BD$. Padahal, karena $latex ABC$ dan $latex ABD$ adalah segitiga, kita punya $latex AB<AC+BC$ dan $latex AB<AD+BD$. Kontradiksi. Maka terbukti.

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Estratto dai D.D.M.M. 10/04/1985 e 12/12/1987
Limiti di competenza dei Geometri

Art. 1 Edifici
1. Sono di competenza del Geometra il progetto e la direzione dei lavori di edifici di nuova costruzione ivi compresa la progettazione e la direzione dei lavori degli impianti idrosanitari delle fognature interne all'edificio, degli impianti elettrici esclusivamente nell'ambito degli impianti di illuminazione salvo diverse disposizioni di legge, e degli impianti di riscaldamento di tipo autonomo con potenzialità inferiore alle 30.000 kcalh, impianti tutti interni ed al servizio delle sole costruzioni progettate nei limiti della competenza, quando gli edifici abbiano le seguenti caratteristiche:
a) L'edificio sia a struttura portante verticale in muratura.
b) L'edificio sia costituito da non più di tre piani (nelle zone sismiche da non più di due piani) compreso l'eventuale piano interrato e/o seminterrato).
c) L'edificio non superi l'altezza totale di ml. 12,00 (nelle zone sismiche non superi l'altezza di ml. 7,30) misurata dal calpestio del piano più basso all'estradosso della copertura o alla sua ordinata media.
d) Il volume complessivo (compreso l'eventuale piano entro terra) sia inferiore a mc. 3.000 (nelle zone sismiche sia inferiore a mc. 2.000). Il volume dell'edificio viene determinato a partire dal calpestio del piano più basso all’estradosso della copertura includendovi portici, soffitte, sottotetti, volumi tecnici, ed accessori realizzati in aderenza.
2. Sono esclusi dalla competenza del Geometra il la direzione dei lavori di edifici industriali, funerari, di culto, e di quelli che comunque dovessero sorgere in centri storici, ed in zone di interesse storico od artistico determinate da norme e vincoli di leggi statali, regionali di regolamento comunale.
3. Sono di competenza del Geometra il progetto e la direzione dei lavori della sopraelevazione di fabbricati esistenti alle seguenti condizioni:
a) La cubatura complessiva dell'edificio, quale risulterà dopo l'intervento, non superi il volume come fissato nel comma n.1 del presente articolo.
b) L'edificio abbia tutte le caratteristiche di cui al comma n.1 del presente articolo con le esclusioni contemplate al comma n.2, del presente articolo, con esclusione pure degli edifici vincolati a norme di legge o di regolamento.
4. Sono di competenza del Geometra nei limiti volumetrici di cui all'art.1/d ed indipendentemente dal tipo strutturale gli Interventi sugli edifici esistenti o su porzioni di edifici abitativi esistenti compresi i relativi impianti interni nelle sole abitazioni come specificato nel comma n.1 del presente articolo, alle seguenti condizioni:
a) Che non vengano effettuati interventi sulle strutture portanti o su singoli elementi di essa.
b) Che l'edificio non sia vincolato a norma di legge o di regolamento.

Art. 2 0perazioni ed interventi nel territorio
1. Sono di competenza del Geometra (incluse le valutazioni, stime, pareri e perizie):
a) Le operazioni topografiche , fotogrammetriche e cartografiche, incluse le operazioni di divisione di lotti dei terreni e di frazionamento.
b) Le operazioni catastali.
c) La misura e la contabilità dei lavori di opere civili e dei relativi impianti.
d) Le mansioni di direttore di cantiere, con esclusione dei cantieri per la realizzazione di opere di ingegneria includenti strutture portanti complesse (dighe, ponti, gallerie, ecc.).
e) il progetto e la direzione del lavori:
- delle strade per la viabilità rurale ed interpoderale,

- delle strade di lottizzazione facenti parte di progetto di lottizzazione redatto da architetto od ingegnere,

- delle strade a servizio dei cantieri,
- di alcune opere di sistemazione superficiale dei terreni quali giardini, recinzioni, campi da gioco non soggetti ad omologazione, ed altri analoghi interventi.
2. Sono escluse, in particolare, dalla competenza del Geometra la progettazione, la direzione dei lavori, il collaudo e la valutazione, fatte salve le operazioni di misura e contabilità dei lavori, dalle seguenti operazioni tecniche:
a) delle strade e delle operazioni tecniche elencate nell'art. 2 comma 1 sub e) quando detti interventi comportino verifiche di stabilità del terreno o dell'opera medesima o di parte di essa,
b) di ponti, muri di sostegno in c.a., nonché di muri di sostegno a gravità (questi ultimi se hanno altezza superiore a mI. 2,50 comprese le fondazioni)
c) di qualunque reticolo viario, fognario, idraulico, elettrico, di trasporto e distribuzione dei fluidi.
d) di piani territoriali (regionali, provinciali, comprensoriali) di piani regolatori (generali, comunali od intercomunali), di piani attuativi particolareggiati o previsti da leggi speciali, di piani di lottizzazione e paesaggistici, di lottizzazione, ecc.
e) di impianti idraulici (acquedotti, fognature, bonifiche, irrigazione ecc.), di impianti di depurazione e di impianti nel territorio in genere,
f) degli interventi a sistemazione o a difesa del territorio (sponde e spiagge, alvei di fiumi e torrenti, opere portuali ecc.).
g) degli impianti tecnologici: riscaldamento, condizionamento, elettrico, di sollevamento, ecc.) salvo quanto previsto nell'art. n.1 quale progettazione e direzione dei lavori.

Art. 3 Valutazioni
Sono di competenza del Geometra le valutazioni (stime, perizie, pareri) relative a beni immobili urbani e rurali nel limite delle competenze di cui all'art.1 indipendentemente dal tipo strutturale, o a porzioni di fabbricati contenute nei limiti volumetrici di cui all'art.1/d, con esclusione di quelle relative a:
a) ad aziende agrarie o di altri tipo per le quali occorrano procedimenti analitici per la stima dei prodotti, di spese, di redditi, e di benefici,
b) alla stabilità di strutture portanti o di parte di esse, fatte salve le competenze permesse dall'art.1 oppure relative a macchinari per l'artigianato, l'industria e l'agricoltura,
c) agli impianti tecnologici non previsti di competenza del geometra nella presente legge,
d) ad edifici od altre parti degli stessi classificati di interesse storico o artistico od ambientale in base a norme di legge statale, regionale e di regolamento comunale.

Art. 4 Collaudi tecnico amministrativi
1. E’ di competenza del Geometra il collaudo tecnico - amministrativo di tutte le opere ed interventi definiti di sua competenza negli articoli che precedono, con esclusione del collaudo di stabilità di qualunque tipo di struttura portante o di parte di essa e del collaudo degli impianti di cui all'art.1.
2. Per l'affidamento dell'incarico di cui al comma n.1 del presente articolo è condizione indispensabile che il Geometra sia iscritto all'Albo da almeno cinque anni.

Art. 5 Strutture
1. Sono di competenza del Geometra la calcolazione delle strutture murarie per gli edifici di nuova costruzione o per le sopraelevazioni nei limiti di cui all'art.1, e di elementi strutturali di diversa natura  inseriti nella struttura muraria.
2. Sono in particolare escluse dalla competenza del Geometra il progetto, la direzione dei lavori ed il collaudo di:
a) strutture, per qualsiasi tipologia, in metallo, c.a., c.a. precompresso, di tipo misto ed in legno.
b) strutture in muratura in edifici che abbiano caratteristiche diverse , altezze, o cubature superiori a quelle di competenza di cui all'art.1 commi 1 e 2.

Art. 6
Sono fatte salve le attribuzioni previste dalle leggi per altri professionisti nelle materie disciplinate negli articoli che precedono.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex 2(\angle PBC+\angle PCB)=\angle PBA+\angle PCA+\angle PBC+\angle PCB=\angle B+\angle C$. Jadi $latex \angle BPC=90^\circ+\angle A/2$. Perhatikan juga bahwa $latex \angle BIC=180^\circ-\frac12\angle B-\frac12\angle C=90^\circ+\angle A/2$. Jadi $latex \angle BPC=\angle BIC$, yang menyebabkan $latex BIPC$ adalah segiempat tali busur. Buat lingkaran luar $latex BIPC$. Fakta terkenal bahwa pusat lingkaran itu $latex M$ adalah titik tengah busur $latex BC$. Mudah dilihat bahwa $latex A,I,M$ kolinear. Jadi, $latex P$ adalah suatu titik di keliling lingkaran itu. Jarak minimum $latex A$ ke suatu titik di keliling lingkaran itu jelas adalah $latex P$. Maka terbukti.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex \angle ADB=90^\circ-\angle DAB=\angle ABF=\angle AEF=180^\circ-\angle FEC$. Jadi $latex \angle ADB+\angle FEC=180^\circ$ sehinga $latex CEFD$ adalah segiempat tali busur. Jadi $latex \angle CED=\angle CFD$, sehingga $latex \angle AEH=\angle AFG$. Ini menyebabkan $latex \angle HAB=\angle GAB$, dan $latex AH=AG$. Terbukti.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex AB||QS||DC,AD||PQ||BC$ sehingga $latex ABCD$ adalah jajargenjang. Perpanjang $latex AM$ dan $latex BC$ sehingga berpotongan di $latex X$. Perhatikan bahwa $latex \triangle ADM\cong\triangle CMX$ sehingga $latex CX=AD$. Jadi $latex CX=BC$. Kita bisa buat lingkaran dengan diameter $latex BX$. Maka $latex H$ berada di keliling lingkaran itu, sehingga menurut teorema Thales, $latex \angle BHX=90^\circ$. Terbukti.

Solusi
Anggap $latex AC_1>A_1B$. Maka dengan hukum kosinus, kita punya $latex AB_2<BC_2$. Ini menyebabkan $latex B_1C>AC_1$. Dengan hukum kosinus lagi kita dapat $latex CA_2<BC_2$ sehingga $latex A_1B>AC_1$, kontradiksi dengan asumsi awal. Jadi kita harus punya $latex AC_1=A_1B=CB_1$.

Jadi $latex \triangle CB_2A_2\cong\triangle BC_2A_2\cong\triangle AB_2C_2$ yang menyebabkan $latex A_2=B_2=C_2$. Maka $latex A_2B_2C_2$ adalah segitiga sama sisi. Jika garis $latex A_2C_1$ dan $latex B_2C_2$ berpotongan di $latex k$, karena $latex B_2C_1=C_1C_2$, maka $latex \angle C_2kA_2=\angle C_2kC_1=90^\circ$. Jadi $latex A_2C_1$ adalah garis tinggi $latex \triangle A_2B_2C_2$. Dengan cara yang sama, $latex B_2A_1,B_1C_2$ juga garis tinggi $latex \triangle A_2B_2C_2$. Karena ketiga garis tinggi pasti berpotongan di satu titik, maka terbukti bahwa $latex A_1B_2,B_2C_2,C_1A_2$ pasti berpotongan di satu titik.

Karena E pada garis tengah tegak lurus AB maka AE = BE, sedangkan CE = DE, karena E pada garis tengah tegak lurus CD. Karena AE = BE, CE = DE, dan AC = BD, maka segitiga AEC dan BED kongruen. Karena segitiga AEC dan BED kongruen maka std EAC = sdt EBD dan karena segitiga AEB sama kaki maka sdt EAB = sdt EBA, sehingga

90^o = sdt EAC - sdt EAB = sdt EBD - sdt EBA = sdt ABD = 100^o

Jadi sudut siku-siku sama dengan sudut tumpul.

Bandingkan dengan argumentasi semua segitiga sama kaki atau dalam kolom argumentasi yang keliru di MAJALAH Zero edisi pertama. Sekarang kita disadarkan kembali akan betapa bahaya diagram yang visualisasinya sering kali "menipu" mata kita. Dan jika mata sudah tertipu, maka argumentasi kita keliru.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex x(1+x+\ldots+x^{n-1})=39$, yang menyebabkan $latex x|39$. Jadi $latex x=1,3,13,39$. Setelah diperiksa satu-persatu, didapat $latex (x,n)=(1,39),(3,3),(39,1)$.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex BC=OF$, sehingga $latex BC$ sama dengan panjang radius lingkaran. Dan juga, $latex AD=OE$, sehingga $latex AD $ juga memiliki panjang radius lingkaran. Karena $latex AC$ adalah diameter, maka $latex \angle CDA=\angle CBA=90^{\circ}$. Jadi $latex ABCD$ pasti persegi panjang atau persegi.

Solusi
Dengan hukum sinus, $latex \sin P=\frac{OA}{OP}\cdot\sin A$. Karena $latex OA$ dan $latex OP$ konstan, nilai $latex OPA$ maksimum jika $latex \sin A$ maksimum. $latex \sin A=1$ adalah nilai maksimum, yaitu ketika $latex A=90^{\circ}$. Jadi syaratnya adalah $latex \angle OAP=90^{\circ}$.

Solusi
Perhatikan gambar berikut. Titik manapun yang diambil, selalu menjadi ada sumbu simetri. Tetapi empat titik ini tidak punya sumbu simetri. Jadi pernyataan itu belum tentu benar.

Solusi
Perpanjang EO, sehingga memotong lingkaran di $latex A$. Karena $latex AE\cdot EC=BE\cdot ED$, maka $latex (2r-1)1=3\cdot5$, dan $latex r=8$.

$latex AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=8r^2$.

Solusi
Misalkan $latex E\in AC\cap BD$, dan $latex AE=a,BE=b,CE=c,DE=d$. Dengan teorema Pythagoras, maka $latex AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(a^2+b^2+c^2+d^2)$. Jadi kita akan buktikan $latex a^2+b^2+c^2+d^2=4r^2$.

Pada segitiga $latex ABC$, $latex R=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4L}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{b^2+c^2}\cdot AC}{2AC\cdot b}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{b^2+c^2}}{2b}$. Jadi $latex 4R^2=\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}{b^2}$. Sekarang kita akan buktikan $latex \frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}{b^2}=a^2+b^2+c^2+d^2$. Persamaan terakhir ini ekuivalen dengan $latex a^2c^2=b^2d^2$, atau $latex ac=bd$, yang terbukti dengan teorema dua busur berpotongan.

Solusi
Misalkan $latex T$ adalah titik potong $latex PR$ dan $latex QS$. Maka $latex \angle PTS=180^\circ-\angle TPS-\angle PST$. Tetapi $latex \angle TPS+\angle PST$ adalah jumlah sudut keliling dari busur $latex SR,PQ$. Karena $latex P,Q,R,S$ titik tengah, maka nilainya $latex \frac12\cdot180^\circ$. Jadi $latex \angle PTS=90^\circ$. Terbukti.

Solusi
Buat titik tengah $latex AB$, yaitu $latex M$. Buat masing-masing garis melalui $latex A$ dan $latex B$ yang sejajar $latex MC$. Buat garis yang tegak lurus terhadap $latex MC$ yang melalui $latex C$. Garis tegak lurus ini memotong garis yang melalui $latex A$ dan $latex B$ di $latex X$ dan $latex Y$. Maka lingkaran dengan radius $latex CX=CY$ memenuhi syarat.

$latex 2\le a^2+b^2+c^2+d^2\le4$.

Solusi
Perhatikan bahwa, dengan teorema Pythagoras, $latex a^2+b^2+c^2+d^2=x^2+(1-x)^2+y^2+(1-y)^2+u^2+(1-u)^2+v^2+(1-v)^2$. Karena $latex x^2+(1-x)^2=2((x-\frac12)^2+\frac14)$, dan $latex 0\le x\le1$, maka $latex \frac12\le x^2+(1-x)^2\le1$. Hal yang sama berlaku untuk $latex y,u,v$, sehingga setelah dijumlahkan didapat ketaksamaan yang diminta.

Solusi
Karena $latex \triangle AEC\sim\triangle BDC$, maka $latex \frac{h}b=\frac{k}a$, atau $latex 2ah=2kb$. Karena $latex b^2+k^2<(CD)^2+k^2=a^2<a^2+h^2$, maka $latex b^2+k^2+2kb<a^2+h^2+2ah$, yaitu $latex (b+k)^2<(a+h)^2$, sehingga $latex b+k<a+h$. Jadi kesamaan tidak pernah terjadi.

Solusi
Misalkan $latex BR=RP=QC=x$. Jika $latex x\ge\frac23$, maka $latex \triangle BRP=\frac12x^2\ge\frac29$. Jika $latex x\le\frac13$, maka $latex \triangle PQA=\frac12(1-x)^2\ge\frac29$. Jika $latex \frac13<\frac23$, maka $latex -\frac16<\frac16$ atau $latex (x-\frac12)^2<\frac{1}{36}$, sehingga $latex PQCR=x(1-x)=\frac14-(x-\frac12)^2>\frac14-\frac1{36}=\frac29$. Maka untuk semua kasus sudah terbukti.