Solusi
Perhatikan bahwa $latex x(1+x+\ldots+x^{n-1})=39$, yang menyebabkan $latex x|39$. Jadi $latex x=1,3,13,39$. Setelah diperiksa satu-persatu, didapat $latex (x,n)=(1,39),(3,3),(39,1)$.

Solusi
Misalkan bilangan awal adalah $latex a$. Maka $latex a+(a+1)+(a+2)+\ldots+(a+k-1)=3^{11}$. Sederhanakan ini menjadi $latex k(2a+k-1)=2\cdot3^{11}$. Jadi $latex k|2\cdot3^{11}$. Tetapi nilai minimum $latex a$ adalah 1, sehingga $latex 1+2+\ldots+k=k(k+1)\le3^{11}$. Jadi $latex k<\sqrt{3^{11}}$. Nilai yang memenuhi $latex k|2\cdot3^{11},k<\sqrt{3^{11}}$ terbesar adalah 486. Mudah dilihat bahwa ada nilai $latex a$ yang memenuhi, yaitu $latex a=122$. Jadi nilai terbesarnya adalah 486.

Jika kita pernah membaca sejarah tokoh-tokoh penemu terdahulu, begitulah cara mereka bekerja. Mereka tidak menerima segala sesuatunya secara instan. Mereka benar-benar berusaha memahaminya terlebih dahulu. Logika mereka bekerja.

Jika kita disuruh menjumlahkan bilangan 1 hingga 100, maka jika anda termasuk orang yang tidak mau ambil pusing maka anda akan mengambil kalkulator. Jika anda orang yang memiliki hafalan yang kuat dan nilai matematika yang bagus, maka ada akan menggunakan rumus [(n+1)(n)]/2. Namun jika anda orang yang paham, maka anda cukup memejamkan mata sebentar.

Untuk orang tukang hafal, ketika soal berubah 'jumlahkan deret bilangan 78, 81, 84, 87, ... ,141' maka saya yakin mereka akan sedikit kebingungan. Tapi bagi orang yang paham, masih cukup dengan memejamkan mata (atau paling jauh adalah dengan membuat sedikit coretan).

Kenapa bisa begitu? Karena meraka paham bagaimana asal rumus jumlah deret.

Flashback sejenak pada masa kecil Pak Gauss (Carl Friedrich Gauss). Pada saat duduk dibangku sekolah dasar, Gauss kecil dan teman-teman sekelasnya diberi tugas oleh gurunya untuk menjumlahkan bilangan bulat dari 1 hingga 100. Saat Pak Guru berkata 'mulai!', semua siswa tampak sibuk untuk menjumlahkan bilangan. Pak Guru pun mengawasi anak didiknya satu persatu. Hingga matanya mengarah pada Gauss kecil. Dan Pak Guru melihat Gauss kecil tidak melakukan apapun.

Ketika ditanya Gauss kecil menjawab, "Sudah selasai,Pak."

"Berapa jawabannya, Gauss?", Pak Guru bertanya heran.

Gauss kecil menjawab, "5050"

Pak Guru yang sangat tidak percaya karena tidak mungkin menyelesaikan perhitungan sedemikian banyaknya hanya dalam waktu beberapa detik kecuali berbuat kecurangan mendatangi meja Gauss kecil.  Dan kemudian melihat coretan kecil dibukunya :

Ternyata Gauus kecil menjumlahkan dua deret sekaligus namun dibalik penyusunannya. Dan hasil penjumlahan tiap-tiap sukunya adalah sama yaitu 101. Dan jika ada seratus suku, bukankah hanya tinggal mengalikan dengan 100. Dan hasilnya tinggal dibagi dua untuk mendapatkan jumlahan untuk satu deret.

Jika kita memahami asal usulnya, segala sesuatu tampaknya lebih mudah untuk diingat. Untuk apapun itu.

Sehingga menjawab pertanyaan tadi, "Jumlahkan deret bilangan 78, 81, 84, 87, ... ,141", cukup dengan membuat coretan (jika kemampuan penguasaan menerawang angka cukup lemah) :

78 + 141 = 219 (tiap suku)

[ ( 141 - 78 ) / 3 ] + 1 = 22 (jumlah suku)   *karena beda = 3

Sehingga jumlah deret adalah ( 219 x 22 ) / 2 = 2409

Kalau tidak percaya bisa dihitung secara manual :)

Mais mon regard de spécialiste de la communication pour le sport s'est plutôt attardé sur les dispositifs de sponsoring mis en place pour ce match. On a eu droit à tout l'attirail : de la banderolles à l'extérieur comme à l'intérieur, du clapper distribué largement pour faire du bruit, du panneau fixe au dessus des tribunes, du performer (bandeau déroulant au bord du terrain), du speed-time (panneaux lumineux animés), de la carte postale souvenir avec tirage au sort, du ballon lumineux au dessus de l'aire de jeu, du marquage au sol sur le parquet... ça fait déjà beaucoup.

Mais c'était sans compter sur les "surprises" : la mascotte vivante "Coky" en forme de poulet, et les cheerleaders qui gesticulent sur la musique de Groupama.

Justement, en tant que parrain du match, Groupama avait innondé le zenith de banderolles et autres stands, mais avait aussi fait venir son sportif représentant : Franck Cammas, skipper, véritable star dans le monde de la voile. Sauf que le marin se sentait bien seul sur son stand, à attendre Mamie pour une photo et le petit Kevin pour une signature sur son t-shirt. Bref, pas grand monde autour de lui, à part le représentant local de l'assureur qui ne savait visiblement pas trop quoi lui dire. Ca m'a fait un peu de peine, en fait, de voir ce grand sportif perdre son temps comme faire-valoir d'une opération pas très bien ciblée... Pour réussir son opération de sponsoring, il ne faut pas oublier d'être cohérent et légitime.

Pour finir, je voudrais souligner une seule action de sponsoring "innovante" : avant chaque quart-temps, le ballon est apporté par un semi-remorque miniature, aux couleurs des transports Deret, partenaire de l'EO. Simple, mais efficace, car en lien direct avec le métier de l'annonceur.

En tout cas, un belle soirée de sport, dans une ambiance d'enfer, chaleureuse et familiale, avec 5 000 spectateurs très en voix.

Plus d'infos sur l'EO 45 : cliquez ici

$latex a_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$,

$latex b_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$,

$latex c_n=\dfrac{b_1}{2}+\dfrac{b_2}{3}+\dfrac{b_3}{4}+\cdots+\dfrac{b_n}{n+1}$.

Tentukan $latex b_{1988}$ dan $latex c_{1988}$ dalam $latex a_{1989}$.

Solusi
Perhatikan bahwa

Susun kembali menjadi

$latex b_{n-1}=(n-1)+\dfrac{1}{2}(n-2)+\dfrac{1}{3}(n-3)+\cdots+\dfrac{1}{n}(n-n)$,

maka

$latex b_{n-1}=n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{3}+\cdots+\dfrac{n}{n}-n=n\cdot a_n-n$.

Maka, substitusikan $latex n=1989$ pada persamaan di atas,

$latex b_{1988}=1989a_{1989}-1989$

Dari persamaan di atas,

$latex \dfrac{b_n}{n+1}=a_{n+1}-1$.

$latex c_{n-1}=b_n-n=(n+1)a_{n+1}-2n-1=(n+1)\displaystyle\left(a_n+\dfrac{1}{n+1}\right)-2n-1$

$latex c_{n-1}=(n+1)a_n-2n$

Substitusikan $latex n=1989$, sehingga

$latex c_{1988}=1989a_{1989}-3978$

$latex \dfrac{F_0}{1}+\dfrac{3F_1}{5}+\dfrac{3^2F_2}{5^2}+\cdots+\dfrac{3^nF_n}{5^n}+\cdots$.

Solusi
Misalkan

$latex A=\dfrac{F_0}{1}+\dfrac{3F_1}{5}+\dfrac{3^2F_2}{5^2}+\cdots+\dfrac{3^nF_n}{5^n}+\cdots$.

Maka

$latex A=F_0+\dfrac{3}{5}F_1+\dfrac{3^2}{5^2}F_2+\dfrac{3^3}{5^3}F_3+\cdots$,

$latex A=F_0+\dfrac{3}{5}F_1+\dfrac{3^2}{5^2}(F_0+F_1)+\dfrac{3^3}{5^3}(F_1+F_2)+\cdots$

$latex A=1+\dfrac{3}{5}+\dfrac{3^2}{5^2}F_0+\dfrac{3^2}{5^2}F_1+\dfrac{3^3}{5^3}F_1+\dfrac{3^3}{5^3}F_2+\cdots$

Misalkan

$latex B=1+\dfrac{3^2}{5^2}F_0+\dfrac{3^3}{5^3}F_1+\cdots$

dan

$latex C=\dfrac{3}{5}+\dfrac{3^2}{5^2}F_1+\dfrac{3^3}{5^3}F_2+\cdots$,

sehingga $latex A=B+C$.

Dapat dilihat bahwa $latex B=1+\dfrac{9}{25}A$ dan $latex C=\dfrac{3}{5}A$.

Karena $latex A=B+C$, maka

$latex B=A-C=A- \dfrac{3}{5}A=\dfrac{2}{5}A$,

sehingga

$latex \dfrac{2}{5}A=1+\dfrac{9}{25}A$.

Jadi

$latex A=25$.

$latex \dfrac{1}{e^{-2005}+1}+\dfrac{1}{e^{-2004}+1}+\cdots+\dfrac{1}{e^{2005}+1}$.

Solusi
Perhatikan bahwa

$latex \dfrac{1}{e^{-x}+1}+\dfrac{1}{e^x+1}=\dfrac{e^{-x}+1+e^x+1}{(e^{-x}+1)(e^x+1)}=\dfrac{e^{-x}+e^x+2}{e^{-x}+e^x+2}=1$.

Maka bentuk di atas dapat dikelompokkan menjadi

$latex \displaystyle\left(\dfrac{1}{e^{-2005}+1}+\dfrac{1}{e^{2005}+1}\right)+\displaystyle\left(\dfrac{1}{e^{-2004}+1}+\dfrac{1}{e^{2004}+1}\right)+\cdots+\dfrac{1}{e^0+1}$

Maka nilainya

$latex 1+1+\cdots+1+\dfrac{1}{2}=2005\dfrac{1}{2}$.

$latex 1\times3+2\times4+3\times5+\ldots+200\times202$.

Solusi
Perhatikan bahwa

$latex 1\times3+2\times4+\ldots+200\times202=1(1+2)+2(2+2)+\ldots+200(200+2)$

Uraikan menjadi

$latex (1^2+2\cdot1)+(2^2+2\cdot2)+(3^2+3\cdot2)+\ldots+(200^2+200\cdot2)$.

Kelompokkan menjadi

$latex (1^2+2^2+3^2+\ldots+200^2)+2(1+2+3+\ldots+200)$,

kemudian gunakan rumus barisan

$latex =\dfrac{200\cdot201\cdot401}{6}+2\cdot\dfrac{200\cdot201}{2}=2726900$.

Solusi
Bilangan pangkat tiga dapat dinyatakan sebagai $latex n^3=(1^3+2^3+3^3+4^3+\ldots+n^3)-(1^3+2^3+3^3+4^3+\ldots+(n-1)^3)$. Suku pertama $latex =\displaystyle\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$ dan suku kedua $latex =\displaystyle\left(\dfrac{n(n-1)}{2}\right)^2$. Maka bilangan itu adalah selisih dari dua bilangan kuadrat.

$latex S=\cos^3x-\dfrac{\cos^33x}{3}+\dfrac{\cos^39x}{9}-\dfrac{\cos^327x}{27}+\ldots$.

Solusi
Dari $latex \cos (3t)=-3\cos(t)+4\cos^3(t)$, maka didapat $latex \cos^3(t)=\dfrac{3}{4}\cos(t)+\dfrac{1}{4}\cos(3t)$.

Jadi

$latex S=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{\cos^3(3^kx)}{3^k}$

dapat diubah menjadi

$latex S=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{\dfrac{3}{4}\cos(3^kx)+\dfrac{1}{4}\cos(3^{k+1}x)}{3^k}$,

sehingga

$latex S=\dfrac{1}{4}\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dfrac{\cos(3^kx)}{3^{k-1}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{\cos(3^nx)}{3^{n-1}}\right)$,

dan

$latex S=\dfrac{1}{4}\displaystyle\left((-1)^0\dfrac{\cos(3^0x)}{3^{-1}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{\cos(3^nx)}{3^{n-1}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{\cos(3^nx)}{3^{n-1}}\right)$,

dan

$latex S=\dfrac{1}{4}\displaystyle\left((-1)^0\dfrac{\cos(3^0x)}{3^{-1}}\right)=\dfrac{3}{4}\cos(x)$.

Solusi
Karena membentuk barisan aritmetika, maka untuk setiap bilangan asli $latex n$, kita mendapat $latex a_{2n-1}=a_{2n}-1$. Kita dapat mensubstitusikan ini ke persamaan yang diberikan dan mendapat

$latex (a_2-1)+a_2+(a_4-1)+a_4+\ldots+a_{98}=137$,

atau

$latex 2(a_2+a_4+\ldots+a_{98})-49=137$.

Maka hasil akhirnya

$latex a_2+a_4+\ldots+a_{98}=93$.