Waktu makan, ku jadi kepikiran tentang cinta, angka, dan bilangan biner. gak tau deh kenapa. Ternyata semuanya itu punya hubungan dengan cinta. Hehehehe jadi kebenaran ini aku yang ciptain sendiri ^^

cinta itu kayak penjumlahan bilangan biner. Bilangan biner adalah bilangan basis 2 yang hanya terdiri dari 1 dan 0.

1+1=1
//satu I ditambah satu A adalah satu cinta. Itulah bagaimana dua hati jadi satu ^^

1+0=1
0+1=1
//inilah yang akan terjadi ketika kami berpisah, mungkin karena kematian, atau mungkin salah satu dari kami mendapatkan pasangan baru (meskipun rasanya gak mungkin ^^) tapi satu dari kami pasti akan tetap memiliki cinta itu. Cinta suci yang pernah kami perjuangkan.

0+0=0
//Jelas kan, kalo aku dan A gak pernah ketemu tentu gak pernah ada cinta di antara kami. Mungkin juga dihati kami masing-masing. Apakah ini takdir kita A?

Yang sering jadi pertanyaan apa itu $latex e$?

$latex e$ adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536..

$latex e= 2,71828182845904523536..$.

$latex e$ ditemukan oleh John Napier ssang penemu logaritma pada tahun 1614 tetapi $latex e$ dipopulerkan oleh Lionhard euler bahkan si om euler lah yang pertama kali menngunakan simbol $latex e$.

$latex e$diperoleh melalui perhitungan

$latex e=\underset{n\rightarrow\infty}{lim}(1+\frac{1}{n})^{n}$

Atau bisa juga melalui rumus

$latex e=\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}\cdots$

$latex e$adalah bilangan irasioanal maka oleh karena itu nilai $latex e$tidak akan pernah berhenti sama seperti $latex \pi$

Apa gunanya $latex e$?

banyak orang bertanya apa sich gunanya  $latex e$mungkin kita jarang menemui si  $latex e$dalam kehidupan sehari-hari. tapi jangan salah  $latex e$adalah salah satu dari 5 bilangan penting dalam matematika. Keempat bilangan penting yang lainnya  $latex \pi, i,0, 1$. Kalo lo memperdalam matematika lo bakal sering nemui  $latex e$, dia ada dibanyak rumus. $latex e$ juga adalah basis dari logaritma natural (Insya Allah akan saya jelasin dipostingan yang akan dateng).

Salah satu penerapan $latex e$ adalah dalam perhitungan bunga bank.

Rumusnya adalah $latex A(t)=A_{0}e^{rt/100}$

misalkan kita menaruh deposito sebesar 10juta, bunga 9% setahun maka dalam waktu 2 tahun uang kita menjadi

$latex 10.000.000e^{9\bullet 2/100}=11.972.173,63$

]]> http://artofmathematics.wordpress.com/?p=781 Fri, 12 Sep 2008 11:59:07 +0000 Johan http://artofmathematics.id.wordpress.com/2008/09/12/bentuk-aljabar-tiga-bilangan/ [101 Problems in Algebra] Misalkan $latex x,y,z$ adalah bilangan kompleks sehingga $latex x+y+z=2,x^2+y^2+z^2=3,xyz=4$. Tentukan nilai dari

$latex \frac1{xy+z-1}+\frac1{yz+x-1}+\frac1{zx+y-1}.$

Solusi
Perhatikan bahwa $latex xy+z-1=xy-x-y+1=(1-x)(1-y)$. Dengan cara serupa, $latex yz+x-1=(1-y)(1-z),zx+y-1=(1-z)(1-x)$. Jadi bentuk itu memiliki nilai

$latex \frac1{(1-x)(1-y)}+\frac1{(1-y)(1-z)}+\frac1{(1-z)(1-x)}=\frac{(1-x)+(1-y)+(1-z)}{(1-x)(1-y)(1-z)}$.

Pembilangnya adalah $latex 3-x-y-z=3-2=1$. Penyebutnya adalah $latex (1-x)(1-y)(1-z)=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz=1-2+\frac12(2^2-3)-4=-\frac92$. Jadi pecahan itu bernilai $latex -\frac29$.

Materi Matematika ekonomi dapat diperoleh:

1. Pendahuluan
2. Himpunan
3. Sistem Bilangan
4. Pangkat, akar, logaritma
5. Deret
6. Fungsi
7. Hubungan linear
8. Hubungan non-linear
9. Diferensial fungsi sederhana
10. Diferensial fungsi sederhana (lanjutan)
11. Diferensial fungsi majemuk
12. Integral
13. Matriks
14. Matriks (lanjutan)

Untuk memperdalam pemahaman tentang dasar matematika, mahasiswa diperkenalkan alat bantu berupa software matematika yang dapat diperoleh :

1. R Project for Statistical Computing
2. SAGE Software for Algebra and Geometry Experimentation
   • The Sage Tutorial
3. Maxima (a general purpose Computer Algebra system)

Bahasa Gayo semakin hari semakin memprihatinkan, semakin kurangnya kesadaran masyarakat Gayo berbahasa Gayo antar sesamanya, banyak orang Gayo tidak bangga lagi dengan bahasa dan adat budanya. Bilangan dalam bahasa gayo diatas Sangat-sangat jarang ditemukan penggunaannya dalam kehidupanSosial masyarakat Gayo Pada Sekarang ini, Mungkin juga sudah ditelan zaman.

Bilangan Dalam bahasa Gayo yang dikenal masyarakat Sekarang adalah:

Sara : Satu
Roa : Dua
Tulu : Tiga
Opat : Empat
Lime : Lima
Onom : Enam
Pitu : Tujuh
Waluh : Delapan
Siwah : Sembilan
Sepuluh : Sepuluh

Gere Akan hancur sara-sara kaum ike we mubeteh derejet dirie.

Enti lupen kao urangku ken basa muyang datunte. (Ariga)

Lihat Juga:

Scribd

Basa Gayo

Bilangan sempurna pertama adalah 6, faktor dari 6 adalah {1.2.3.6} dan 6=1+2+3. Yang kedua adalah 28 karena 28=1 + 2 + 4 + 7 + 14

Seorang matematikawan dari abad ke 1 Nicomachus (60-120M) menemukan keempat pertama bilangan sempurna yaitu 6, 28, 496, dan 8.128. Dua bilangan selanjutnya adalah 33.550.336 dan 8.589.869.056

Ampe detik ini semua bilangan sempurna yang ditemukan adalah genap.

Kalo lo bisa nemuin bilangan genap yang ganjil maka lo berhak dapet penghargaan matematika internasional

Keberaadaan bilangan sempurna yang ganjil masih misteri, para ahli matematika percaya bahwa ada bilangan sempurna yang ganjil, tapi berapakah bilangan tersebut???

Kalaupun ada bilangan sempurna yang ganjil maka bilangan itu lebih besar dari 100 quindecillion ($latex 10^{50}$ atau 1 diikuti dengan  50 nol)

Konon hanya ada 4 bilangan yang disebut bilangan narsis/narcissistic number yaitu

153, 370, 371, 407

Kenapa ke-4 bilangan diatas disebut narsis?

Perhatikan

$latex 153=1^3+5^3+3^3$

$latex 370=3^3+7^3+0^3$

$latex 371=3^3+7^3+1^3$

$latex 407=4^3+0^3+7^3$

Jadi bilangan narsis didefinisikan bilngan yang diperoleh dari hasil penjumlahan angka-angka didalamnya yang dipangkatkan dengan banyaknya angka

Kalo lo bisa nemuin bilangan narsis yang lain selain ke-4 bilangan tersebut, maka lo dapet penghargaan matematika

]]> http://ariaturns.wordpress.com/?p=132 Fri, 22 Aug 2008 21:13:11 +0000 Aria Turns http://ariaturns.id.wordpress.com/2008/08/22/keajaiban-bilangan-ganjil/ Coba perhatikan

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

Apa kalian sadar bahwa 4,9,16 adalah bilangan kuadrat sempurna dimana $latex 2^2=4, 3^2=9,4^2=16,5^2=25$. Cobalah bikin deret bilangan dari 1 sampai ke-n bilangan ganjik maka kita SELALU mendapatkan bilangan kudrat sempurna. Sebagai contoh

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

Kenapa bisa begitu?

Perhatikan gambar dibawah ini

Di baris atas, setiap potongan L mempunyai kotak yang banyaknya ganjil, dibaris bawah kita mengabungkan tiap-tiap L dari kiri ke kanan, L pertama yang mempunyai satu kotak kita gabung dengan L kedua yang mempunyai tiga kotak, L pertama dan kedua kita gabung dengan L ketiga yang mempunyai liam kotak begitu seterusnya maka tiap-tiap penggabungan kita akan mendapat bentuk bujursangkar yang mempunyai kotak sebanyak $latex n^2$

Bilangan vampire, apaan tuh? bilangan yang bisa ngisep darah...

Entah apakah Vampire bener-bener ada atau gak? Tapi Di Film-film Vampire digambarkan sebagai makhluk bewujud manusia tapi mempunyai sifat yang berbeda dari manusia seperti menghisap darah, abadi, takut ama sinar matahari, bawang n bisa berubah jadi kelelawar.

Begitu juga bilangan vampire dalam matematika, bilangan tersebut tampak seperti bilangan pada umumnya tapi ternyata

Contoh Bilangan Vampire

1260 = 21 * 60
1395 = 15 * 93
1435 = 35 * 41
1530 = 30 * 51
1827 = 21 * 87
2187 = 27 * 81
6880 = 80 * 86

Coba perhatikan ke-7 contoh bilngan vampire diatas, semua bilangan disisi kanan merupakan hasil kali 2 bilangan (yang disebut fangs) dimana mengandung angka yang sama dengan bilangan disisi kanan

Jadi bilangan vampire, bisa didefinisikan sebagai hasil kali 2 bilangan dimana ketika bilangan tersebut dikalikan maka hasilnya adalah gabungan angka-angka 2 bilangan tersebut.

Contoh bilangan vampire yang mempunyai 2 fangs berbeda

125460  = 204 · 615 = 246 · 510
11930170  = 1301 · 9170 = 1310 · 9107
12054060 = 2004 · 6015 = 2406 · 5010
12417993 = 1317 · 9429 = 1347 · 9219
12600324 = 2031 · 6204 = 3102 · 4062
12827650 = 1826 · 7025 = 2075 · 6182
13002462 = 2031 · 6402 = 3201 · 4062
22569480 = 2649 · 8520 = 4260 · 5298
23287176 = 2673 · 8712 = 3267 · 7128
26198073 = 2673 · 9801 = 3267 · 8019
26373600 = 3600 · 7326 = 3663 · 7200
26839800 = 2886 · 9300 = 3900 · 6882
46847920 = 4760 · 9842 = 6290 · 7448
61360780 = 7130 · 8606 = 7613 · 8060
1001795850 = 10170 · 98505 = 19701 · 50850

Contoh bilangan Vampire yang mempunyai 3 fangs berbeda

13078260 =  1620 · 8073 = 1863 · 7020 = 2070 · 6318
107650322640 = 140532 · 766020 = 153204 · 702660 = 200760 · 536214
113024597400 = 125100 · 903474  = 152100 · 743094 = 257400 · 439101
119634515208 = 195351 · 612408 =  234156 · 510918 = 285513 · 419016

Bilangan Vampire diperkenalkan oleh Clifford A. Pickover pada tahun 94.

Lebih jauh mengenai bilangan vampire bisa di lihat di:

http://www.grenvillecc.ca/faculty/jchilds/vampire.htm

http://mathworld.wolfram.com/VampireNumber.html

]]> http://artofmathematics.wordpress.com/?p=735 Wed, 20 Aug 2008 14:57:15 +0000 Johan http://artofmathematics.id.wordpress.com/2008/08/20/permutasi-bilangan-asli-2/ [102 Combinatorial Problems] Misalkan $latex n$ adalah bilangan ganjil yang lebih besar dari 1. Tentukan banyaknya permutasi $latex p$ dari himpunan $latex \{1,2,\ldots,n\}$ sehingga $latex |p(1)-1|+|p(2)-2|+\cdots+|p(n)-n|=\frac{n^2-1}2.$

Kita punya

$latex |p(1)-1|+|p(2)-2|+\cdots+|p(n)-n|=\frac{n^2-1}2.=\pm1\pm1\pm2\pm2\pm\cdots\pm n\pm n.$

Nilai maksimumnya adalah

$latex \displaystyle2\left(-1-2-\cdots-\frac{n-1}2\right)-\frac{n+1}2+\frac{n+1}2+2\left(\frac{n+3}2+\cdots+n\right)=\frac{n^2-1}2.$

Jika  $latex p(\frac{n+1}2)\le\frac{n-1}2$, maka

$latex \{p(1),...,p(\frac{n-1}2)\}=\{\frac{n+3}2,...,n\}, \{p(\frac{n+3}2,...,p(n)\}=\{1,2,...,\frac{n+1}2\}-\{k\}$.

Jika $latex p(\frac{n+1}2)\ge\frac{n+1}2$, maka

$latex \{p(1),...,p(\frac{n-1}2)\}=\{\frac{n+1}2,...,n\}-\{k\}, \{p(\frac{n+3}2,...,p(n)\}=\{1,2,...,\frac{n-1}2\}$.

Jadi total permutasinya ada

$latex \displaystyle\frac{n-1}2\left(\left(\frac{n-1}2\right)!\right)^2+\frac{n+1}2\left(\left(\frac{n-1}2\right)!\right)^2=n\left(\left(\frac{n-1}2\right)!\right)^2$.

Namun sebagai penyemangat untuk terus menulis aneh, maka posting ini untuk merayakan sekaligus mengaktualisasikan kesampeannya jumlah di atas .

:lol:

:mrgreen:

Tentukan nilai terkecil bilangan asli $latex t$ sehingga terdapat bilangan-bilangan $latex x_1,x_2,\ldots,x_t$ sehingga

$latex x^3_1+x^3_2+\,\ldots\,+x^3_t=2002^{2002}$.

Kita bisa memanfaatkan kongruensi modular di sini. Untuk bilangan kubik, biasanya modulo 7 atau 9 cukup efektif, karena hanya ada tiga kemungkinan. (Untuk bilangan kuadrat biasanya modulo 3 dan 4 cukup efektif). Dalam kasus ini, kita bisa pakai modulo 9. Perhatikan bahwa $latex x^3_1,x^3_2,\ldots,x_t^3$ semuanya kongruen dengan $latex -1,0,1\pmod9$, sedangkan $latex 2002^{2002}\equiv4\pmod9$. Jadi, minimum kita perlu empat bilangan.

Sekarang kita perlu buktikan juga bahwa ada empat bilangan seperti itu. Perhatikan bahwa $latex 2002=10^3+10^3+1^3+1^3$. Jadi kita bisa ambil $latex 2002^{2002}=(10\cdot2002^{667})^3+(10\cdot2002^{667})^3+(2002^{667})^3+(2002^{667})^3$. Jadi empat adalah minimum, dan bisa dicapai, sehingga jawaban yang kita cari adalah $latex t=4$.

Solusi
Perhatikan bahwa jumlah pasang tidak mungkin 2, karena 2 hanya bisa didapat dari 1+1, dan bilangan harus berbeda. Jadi semua bilangan prima itu ganjil. Kita akan buktikan ada lebih dari 5 bilangan genap, sehingga Jack salah. Ada $latex C^6_2=15$ pasang bilangan. Jumlah bilangan genap jika dua bilangan keduanya genap atau keduanya ganjil. Di antara enam bilangan itu, ada 7 kemungkinan:
(i) semua genap: 15 bilangan jumlah genap.
(ii) 5 genap, 1 ganjil: $latex C^5_2=10$ bilangan jumlah genap
(iii) 4 genap, 2 ganjil: $latex C^4_2+C^2_2=7$ bilangan jumlah genap
(iv) 3 genap, 3 ganjil: $latex C^3_2+C^3_2=6$ bilangan jumlah genap
(v) 2 genap, 4 ganjil: $latex C^2_2+C^4_2=7$ bilangan jumlah genap
(vi) 1 genap, 5 ganjil: $latex C^5_2=10$ bilangan jumlah genap
(vii) semua ganjil: 15 bilangan jumlah genap.
Jadi selalu lebih dari 5 bilangan genap, sehingga tidak mungkin hanya ada 10 bilangan ganjil, apalagi bilangan prima. Jadi Jack pasti salah. Pada kasus (iv) Jill bisa benar, jika semua bilangan ganjil adalah prima. Maka jawabannya Jill.

$latex ab\le n^2\le(a+c)(b+d)$.

Solusi
Asumsikan sebaliknya, sehingga $latex ab$ dan $latex (a+c)(b+d)$ berada di antara dua bilangan kuadrat berurutan. Karena $latex ab<(a+c)(b+d)$ kita punya bilangan asli $latex k$ sehingga

$latex k^2<ab<(a+c)(b+d)<(k+1)^2$.

Perhatikan bahwa $latex (a+c)(b+d)-ab<(k+1)^2-k^2$ sehingga $latex ad+bc+1<2k+1$ atau $latex ad+bc<2k$. Dengan AM-GM, kita punya $latex k>\sqrt{abcd}$. Tetapi, $latex k^2<ab=abcd$ menyebabkan $latex k<\sqrt{abcd}$. Kontradiksi. Maka terbukti.

$latex (x+y)^2+(x+z)^2=(y+z)^2$.

Solusi
Persamaan ekuivalen dengan

$latex x^2+2xy+y^2+x^2+2xz+z^2=y^2+2yz+z^2$,

$latex x^2+xy+xz=yz$.

Tambahkan $latex yz$, sehingga

$latex (x+y)(x+z)=2yz$.

Ini tidak mungkin karena ruas kiri habis dibagi 4, sedangkan ruas kanan tidak.

Solusi
Misalkan bilangan itu $latex a,b,\frac1{ab}$. Maka $latex a+b+\frac1{ab}>\frac1a+\frac1b+ab$, yang menyebabkan $latex (a-1)(b-1)(\frac1{ab}-1)>0$. Maka tiga-tiganya lebih dari 1, atau hanya satu yang lebih dari 1. Jika tiga-tiganya lebih dari 1, hasil kalinya tidak mungkin 1. Jadi tepat satu bilangan lebih dari 1.

Solusi
Untuk $latex n=1$, terdapat bilangan 5 yang memenuhi. Kita akan melakukan langkah induksi. Anggaplah ada bilangan asli $latex k$ digit, yaitu $latex N$ yang habis dibagi $latex 5^k$. Maka $latex i\cdot10^k+N$ habis dibagi $latex 5^k$, di mana $latex i=1,3,5,7,9$. Misalkan $latex (i\cdot10^k+N)/5^k=i\cdot2^k+B$. Modulo 5, ada 5 kemungkinan nilai $latex B$, yaitu 0,1,2,3, atau 4. Tetapi $latex i\cdot2^k$ memiliki kemungkinan nilai 0,1,2,3,4 modulo 5. Untuk setiap nilai $latex B$, selalu ada nilai $latex i$ yang memenuhi. Maka terbukti.

Solusi
Kita akan gunakan metode induksi. Untuk $latex n=3$, kita punya $latex x_3=y_3=1$. Anggaplah terdapat bilangan ganjil $latex x_k,y_k$ sehingga $latex 7x_k^2+y_k^2=2^k$. Perhatikan bahwa

$latex \displaystyle7\left(\frac{x_k\pm y_k}2\right)^2+\left(\frac{7x_k\mp y_k}2\right)^2=2^{k+1}$.

Salah satu dari $latex \frac{x_k+y_k}2$ atau $latex \frac{x_k- y_k}2$ pasti ganjil, begitu pula $latex \frac{7x_k- y_k}2$ atau $latex \frac{7x_k+y_k}2$. Maka terbukti.

Solusi
Perhatikan bahwa $latex f(x)-5$ memiliki akar-akar $latex a,b,c,d$. Maka dapat ditulis $latex f(x)-5=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)g(x)$, di mana $latex g(x)$ adalah polinomial berkoefisien bulat. Maka jika $latex f(k)=8$, $latex (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)g(x)=3$. Maka tiga dari empat bilangan $latex (k-a),(k-b),(k-c),(k-d)$ bernilai $latex -1$ atau $latex 1$. Kontradiksi bahwa keempat bilangan itu berbeda. Maka terbukti.

Solusi
Jika kita bisa membuktikan tidak ada strategi kemenangan untuk B, maka pasti ada strategi kemenangan untuk A. Jadi, kita asumsikan dulu bahwa ada strategi kemenangan untuk B.

Pertama-tama, A mengambil bilangan 1. Bilangan 1 ini hanya bisa diambil pada langkah pertama, karena merupakan faktor dari semua bilangan. Kemudian B, sesuai strateginya, mengambil bilangan N. Dengan cara ini, B bisa menang.

Tetapi, anggaplah A pertama-tama mengambil bilangan N. Maka akhirnya B akan kalah. Kontradiksi, sehingga B tidak punya strategi kemenangan. Jadi A memiliki strategi kemenangan.